两个事件概率间不等式的存在性

嘿，这个问题其实可以从条件概率的角度拆解，咱们一步一步来看：

首先利用条件概率的定义，把你的不等式转化一下：$P(A\cap B) = P(B|A)P(A)$，所以你要找的不依赖$x$的常数$C>0$，本质上等价于要找到一个$C$，使得对所有$x$，$P(B|A) \geq C$。

问题就变成了：依赖$x$的条件概率$P(B|A)$，能不能被一个不依赖$x$的正数下界控制？

什么时候不存在这样的$C$？ #

答案是：如果$P(B|A)$可以随着$x$的变化任意趋近于0，那绝对不存在这样的固定$C$。我给你举个具体的反例：
假设样本空间是$[0,1]$，服从均匀分布，令$B = [0, \frac{1}{2}]$（固定事件），然后定义依赖$x$的事件$A_x$：
$$A_x = \left[0, \frac{1}{2x}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{x-1}{x}\right]$$
计算概率：

• $P(A_x) = \frac{1}{2x} + \frac{x-1}{x} = \frac{2x - 1}{2x}$，当$x$很大时，这个概率趋近于1；
• $P(A_x \cap B) = \frac{1}{2x}$，只有左边的小区间和$B$相交；

这时候$P(B|A_x) = \frac{P(A_x \cap B)}{P(A_x)} = \frac{1}{2x - 1}$，当$x$趋向于无穷大时，这个条件概率会趋向于0。

你会发现，不管取多么小的正数$C$，只要$x$足够大，$\frac{1}{2x - 1}$就会小于$C$，自然满足不了$P(A\cap B) \geq C P(A)$的要求，所以这种情况下不存在这样的固定$C$。

什么时候存在这样的$C$？ #

当然，如果条件概率$P(B|A)$有一个不依赖$x$的正下界，也就是$\inf_{x} P(B|A_x) > 0$，那我们直接取$C$等于这个下确界（或者比它小一点的正数），就能满足不等式。比如如果对所有$x$，$P(B|A_x) \geq 0.2$，那取$C=0.1$就完全没问题。

总结一下：关键看条件概率$P(B|A)$是否能被一个不依赖$x$的正数下界约束，如果可以，就存在这样的$C$；如果条件概率能任意小，就不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user621937