紧度量空间上满足d(f(a),f(b))≥d(a,b)的连续映射的等距性证明求助

问题描述 #

设$X$是带有度量$d$的紧度量空间，$f \in C(X,X)$，且对任意$a,b \in X$都有$d(f(a),f(b)) \ge d(a,b)$。证明：对所有$a,b \in X$，$d(f(a),f(b)) = d(a,b)$。

我的思路尝试 #

我目前的推导过程如下：

• 因为$X$是紧度量空间，连续映射$f$的像集$f(X)$也必然是紧的，同时$f$具备一致连续性。
• 我想用反证法来推进：假设存在一对点$(x,y) \in X^2$，使得$d(f(x),f(y)) > d(x,y)$。
  • 由于$X$紧，它的直径是有限值，记为$M$，并且一定存在$x_0,y_0 \in X$满足$d(x_0,y_0)=M$。
  • 如果这对直径点恰好是我们假设的$(x,y)$，那直接就能得到矛盾：因为$f(X) \subseteq X$，所以$f(X)$的直径不可能超过$M$，但此时$d(f(x_0),f(y_0)) > M$，明显和这个结论冲突。
• 不过现在我卡在了另一种情况：当假设的$(x,y)$满足$d(x,y) < M$时，不知道该怎么继续推导下去。

希望各位能给我一些提示或者思路，提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathRookie2204