求解当x→0⁺时含参积分的极限问题

嘿，我来帮你理清楚这个问题的解法，不用再头疼分部积分绕远路啦！

首先，咱们先抓住问题的核心：当( x \to 0^+ )时，积分上下限( ax )和( bx )都趋近于0，所以被积函数里的( y )其实是在0的小邻域里变化。这种情况下，用泰勒展开近似被积函数是最直接的技巧，比分部积分或者纠结极限交换要高效得多。

步骤1：被积函数的泰勒展开 #

回忆一下当( t \to 0 )时的泰勒展开式：

• ( \tanh t = t - \frac{t^3}{3} + o(t^3) )
• ( \tan t = t + \frac{t^3}{3} + o(t^3) )，所以( \tan^2 t = t^2 + \frac{2t^4}{3} + o(t^4) )

把这两个展开式相乘：
[
\tanh y \cdot \tan^2 y \approx \left(y - \frac{y^{3}{3}\right)\left(y}2 + \frac{2y^4}{3}\right) = y^3 + \frac{2y^5}{3} - \frac{y^5}{3} + o(y^5) = y^3 + \frac{y^5}{3} + o(y^5)
]

然后除以( y^4 )，得到被积函数的近似：
[
\frac{\tanh y \cdot \tan^2 y}{y^4} \approx \frac{1}{y} + \frac{y}{3} + o(y)
]

步骤2：代入积分计算 #

把这个近似代入原积分，从( ax )到( bx )积分：
[
\int_{ax}^{bx} \frac{\tanh y \cdot \tan^2 y}{y^4} dy \approx \int_{ax}^{bx} \left( \frac{1}{y} + \frac{y}{3} + o(y) \right) dy
]

分别计算每一项的积分：

• 第一项积分：( \int_{ax}^{bx} \frac{1}{y} dy = \ln(bx) - \ln(ax) = \ln\left(\frac{b}{a}\right) )
• 第二项积分：( \int_{ax}^{bx} \frac{y}{3} dy = \frac{1}{6}\left( (bx)^2 - (ax)^2 \right) = \frac{(b^2 - a^2)x2}{6} )
• 高阶小项的积分：( \int_{ax}^{bx} o(y) dy = o(x^2) )

步骤3：取极限 #

当( x \to 0^+ )时，( \frac{(b^2 - a^2)x2}{6} )和( o(x^2) )都会趋近于0，剩下的主导项就是( \ln\left(\frac{b}{a}\right) )。

补充：回应你提到的FTC思路 #

你之前想到用微积分基本定理（FTC）是个不错的方向，咱们也可以用变量替换来贴合这个思路：令( y = tx )，则( dy = x dt )，积分上下限从( t=a )到( t=b )，原积分变成：
[
f(x) = \int_{a}^{b} \frac{\tanh(tx) \cdot \tan^2(tx)}{(tx)4} \cdot x dt = \int_{a}^{b} \frac{\tanh(tx) \cdot \tan^2(tx)}{t4 x^3} dt
]

当( x \to 0^+ )时，( \tanh(tx) \approx tx )，( \tan(tx) \approx tx )，代入后分子近似为( tx \cdot (tx)^2 = t^3 x^3 )，除以( t^4 x^3 )就得到( \frac{1}{t} )，所以积分近似为( \int_{a}^{b} \frac{1}{t} dt = \ln\left(\frac{b}{a}\right) )，和之前的结果一致。

所以这个极限的结果就是选项d：( \ln(b/a) )。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leonardo Javier Stupnicki