群作用下交换代数同态轨道与不变量代数同态的双射性问题

这是个贴合代数几何商空间直觉的好问题，咱们先从你给出的背景出发，一步步拆解这个映射的双射性——答案是它并不总是双射，但在不少常用的代数几何场景下是成立的，下面分情况细说：

先明确问题定义 #

给定域$k$上的交换代数$A$，群$G$通过同态$G \to \operatorname{Aut}_k(A)$作用在$A$上；同时$G$通过公式：
$$(g \varphi)(x) = \varphi(g^{-1}x)$$
作用在$\operatorname{Hom}_k(A, k)$上。你定义了从轨道集到不变量代数同态的映射：
$$\operatorname{Hom}_k(A, k)/G \to \operatorname{Hom}_k(A^G, k)$$
把$\varphi$的轨道送到它在$A^G$上的限制，并且已经验证了这个映射是良定义的——确实，同一轨道里的同态在$G$-不变元上的取值必然一致。

双射成立的典型场景（对应你的代数几何动机） #

当$k$是代数闭域，且$A$是**既约（reduced）**的交换$k$-代数时，这个映射是双射，正好对应你提到的 affine variety 商空间的$k$-点性质：

• 几何视角：$\operatorname{Hom}_k(A, k)$就是 affine variety $X = \operatorname{Spec}A$的$k$-点集$X(k)$，$G$作用在$X(k)$上的轨道就是商空间$X/G$的$k$-点的“自然候选”；而$\operatorname{Hom}_k(A^G, k)$就是商空间$\operatorname{Spec}A^G = X/G$的$k$-点集。此时商空间的$k$-点恰好就是原空间$k$-点的$G$-轨道，对应到代数上就是这个映射是双射。
• 代数解释：因为$k$代数闭且$A$既约，每个$\psi \in \operatorname{Hom}_k(A^G, k)$都能延拓到$A$上的$k$-代数同态$\varphi$（这是Hilbert零点定理的推论，或者说极大理想的提升性质）；而且如果两个延拓$\varphi_1, \varphi_2$在$A^G$上相等，那么它们一定属于同一个$G$-轨道——因为它们对应的极大理想$\mathfrak{m}_1, \mathfrak{m}_2$满足$\mathfrak{m}_1 \cap A^G = \mathfrak{m}_2 \cap A^G$，而$G$作用在$A$的极大理想上，这个交集相等意味着$\mathfrak{m}_2$在$\mathfrak{m}_1$的$G$-轨道里，对应到同态就是$\varphi_2$在$\varphi_1$的$G$-轨道里。

双射不成立的反例 #

反例1：非代数闭域的情况 #

取$k = \mathbb{R}$，$A = \mathbb{C}$（作为$\mathbb{R}$-代数），$G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，作用是复共轭：$g \cdot z = \overline{z}$。

• $A^G = \mathbb{R}$，所以$\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(A^G, \mathbb{R})$只有1个元素（恒等映射）。
• 但$\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(A, \mathbb{R})$是空集：因为$\mathbb{R}$-代数同态要求$\varphi(1)=1$，但$\varphi(i)^2 = \varphi(i^2) = \varphi(-1) = -1$，而$\mathbb{R}$中没有平方为$-1$的元素，不存在这样的同态。
• 此时映射是空集到单元素集，显然不是双射。

反例2：非既约代数的情况 #

取$k = \mathbb{Q}$，$A = \mathbb{Q}[t]/(t^2 - 2, t^{3)$，这个代数有幂零元（比如$t}3 = 0$），$G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$作用是$g \cdot t = -t$（验证：$(-t)^2 - 2 = t^2 - 2 = 0$，$(-t)^3 = -t^3 = 0$，确实是自同构）。

• $A^G$是$G$-不变元素的集合：元素$a + bt + ct^2$满足$g \cdot (a + bt + ct^2) = a - bt + ct^2 = a + bt + ct^{2$，所以$b=0$，即$A}G = \mathbb{Q}[t^2]/(t2 - 2, t^4)$，而$t4 = (t²⁾2 = 4$，所以$A^G = \mathbb{Q}[s]/(s-2, s^2-4) = \mathbb{Q}$（因为$s-2$整除$s^{2-4$），因此$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(A}G, \mathbb{Q})$只有1个元素。
• $\operatorname{Hom}{\mathbb{Q}}(A, \mathbb{Q})$：每个同态$\varphi$满足$\varphi(t)^2 - 2 = 0$且$\varphi(t)^3 = 0$，但$\mathbb{Q}$中没有元素同时满足这两个等式，所以$\operatorname{Hom}{\mathbb{Q}}(A, \mathbb{Q})$是空集，轨道集也是空集，映射再次不是双射。

更一般的双射成立条件 #

除了“$k$代数闭且$A$既约”，还有一些更通用的条件：

• $G$有限，$A$是有限型$k$-代数，$k$代数闭：此时商空间$X/G = \operatorname{Spec}A^G$是几何商，其$k$-点恰好是$X$的$k$-点的$G$-轨道，对应代数上的双射。
• $G$有限且$k$的特征不整除$|G|$，$A$是$k$-代数：这时候$A$是$A^{G$的伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论，每个$A}G$到$k$的同态都可以唯一（在$G$-作用下）延拓到$A$到$k$的同态，从而双射成立。
• $A$是$A^G$上的忠实平坦代数，且$G$作用可分：这种情况下，不变量代数的同态可以唯一提升到原代数的同态，且提升后的同态在$G$-作用下的轨道唯一对应原不变量同态。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stupid_questions