关于满足连续性方程的有界测度集合W的极值点的技术问询

云上老周

2026-4-20

背景：常微分方程

设 $x(\cdot) \in C([0,1];\mathbb{R}^n)$（其中$C(\cdot)$表示连续函数构成的集合）是满足下述微分方程的轨迹：
$$\begin{gather}\label{eq:ode}
\dot{x}(t) = f(t,x(t))\quad x(0) = x_0\in \mathbb{R}^n
\end{gather}$$
其中对所有 $t\in[0,1]$，有 $(t,x)\in X$ 且 $\dot{x}(t) \in V$。这里的 $f(t,x)$ 称为向量场，我们假设它满足Lipschitz正则性。

测度与连续性方程

现在考虑 $C(X \times V)$ 上的线性泛函 $\mu$（即 $\mu \in C^(X \times V)$），以及 $C^(X)$ 中的 $\gamma$，满足：
$$\begin{gather}\label{eq:cont_eqn}
\langle \mu, \partial_t \phi(t,x) + \partial_x\phi(t,x)\cdot v \rangle = \int \phi d\gamma -\phi(t_0,x_0)
\end{gather}$$
对所有 $\phi\in C^1(\mathbb{R}{n+1})$ 成立。

注：这就是所谓的连续性方程，其相关柯西问题的适定性与前文提到的微分方程的适定性密切相关。

测度集合的极值点

考虑由满足下述条件的上述线性泛函构成的有界集合：
$$\begin{gather}
W := {(\mu, \gamma)|
~{\rm s.t.~}\quad \mu,\gamma \ge 0, \quad ||\mu||\le 1,||\gamma|| \le 1 \quad and ~{\rm satisfies ~} {\rm continuity~ equation} }
\end{gather}$$
我已经证明了集合 $W$ 是凸集且在弱*拓扑下紧，但现在遇到了一个问题：