是否存在非满射的开线性算子？

当然存在，但得跳出有限维空间的限制——你举的那个二维投影算子的例子之所以不行，是因为有限维线性空间里的开线性算子必然是满射的，但在无限维的场景下，我们就能找到反例。

先明确开映射定理的适用范围：它指出，从Banach空间X到Banach空间Y的连续满射线性算子一定是开映射。但这个定理的逆命题（开线性算子必满射）只在Y是Banach空间（完备的赋范线性空间）时成立，如果Y不完备，反例就出现了。

举个具体的例子：
设X是装备l₁范数的实序列Banach空间（即所有绝对可和的序列构成的空间），Y是X的一个子空间——所有只有有限个非零项的实序列（装备和X相同的范数，显然Y不完备）。定义线性算子$T:X \to Y$为：
$$T(x_1, x_2, x_3, \dots) = \left(x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \dots\right)$$

这个算子显然非满射：比如Y中的序列$(1,1,1,0,0,\dots)$就不在T的像里——要得到这个序列，对应的原序列得是$(1,2,3,0,0,\dots)$，但这个序列的l₁范数是$1+2+3+\dots$，是发散的，不属于X。

同时，T是开映射：对于X中任意开球$B(x, r)$，T作用后的集合$T(B(x,r))$在Y的拓扑下是开集——简单来说，Y中任何靠近$T(x)$的元素，都能找到X中对应的元素，使得它被T映射过去，且原元素落在开球$B(x,r)$里。

再回到你想到的投影算子$T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\ (x, y) \mapsto (x, 0)$：它确实非满射，但它不是开映射。因为开映射要求把原空间的开集映射到目标空间的开集，而ℝ²里的开单位球被T映射后，得到的是x轴上的开线段${(x,0) \mid x \in (-1,1)}$，这个集合在二维空间的拓扑里根本不是开集（它是x轴上的子集，在ℝ²中没有内点），所以不符合开映射的定义。你之前关注像集是闭的，这和它是不是开映射没有直接关系，关键是映射后的集合不是目标空间里的开集。

最后总结一下：

• 在有限维赋范线性空间之间，开线性算子一定是满射的，所以找不到非满射的例子；
• 当目标空间不完备时（比如无限维的不完备子空间），可以构造出非满射的开线性算子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者juan19.99