用幂级数（弗罗贝尼乌斯方法）求解微分方程$x^2y''+2xy'+2y=0$的疑问

我知道用$x=e^t$的代换能解这个微分方程，但这次要求用幂级数（弗罗贝尼乌斯方法）来做。我先假设解的形式是$y=\sum_{n\geq 0}a_nx^{n+r}$，代入原方程后化简得到：

$$\sum_{n\geq 0}(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r}+\sum_{n\geq 0}2(n+r)a_nx^{n+r}+\sum_{n\geq 0}2a_nx^{n+r}=0$$

进一步合并成：

$$\sum_{n\geq 0}{(n+r)(n+r-1)+2(n+r)+2}a_nx^{n+r}=0$$

到这一步我就困惑了：

是不是因为$a_n\neq0$，所以必须让$(n+r)(n+r-1)+2(n+r)+2=0$？我设$u\equiv n+r$，代入后得到：

$$u(u-1)+2u+2=u^2+u+2=0\implies u=n+r=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt 7}{2}$$

那我猜解应该是这个形式：

$$y=\sum_{n\geq 0}a_nx^{-\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt 7}{2}}+\sum_{n\geq 0}a_nx^{-\frac{1}{2}- i\frac{\sqrt 7}{2}}$$

但这里的系数$a_n$该怎么处理呢？毕竟这是二阶微分方程，应该只有两个由边界条件确定的系数$a_0$和$a_1$才对？所以是不是最终解应该写成这样：

$$y=a_0x^{-\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt 7}{2}}+a_1x^{-\frac{1}{2}- i\frac{\sqrt 7}{2}}=\frac{1}{\sqrt x}\left(a_0e^{i\frac{\sqrt 7}{2}\ln x}+a_1e^{-i\frac{\sqrt 7}{2}\ln x}\right)=\frac{A}{\sqrt x}\sin\left(\frac{\sqrt 7}{2}\ln x+B\right)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hug de Roda