多指标情形下克罗内克δ导数形式的指标交换合理性及广义克罗内克δ适用性的技术问询

举个实际的例子，对四矢量求导的结果其实特别直观：
$$\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\nu}=\delta_\nu}\mu$$
只有当洛伦兹指标完全匹配的时候，这个导数才是非零的，这里我们取$\mu, \nu = 0,1,2,3$。

但如果是对(0,2)型张量求导的话，比如下面这种情况：
$$\frac{\partial\left(\partial_cA_d\right)}{\partial\left(\partial_\mu A_\nu\right)}=\delta_c^\mu\delta_d\nu\tag{1}$$
我留意到式(1)里指标的左右对应顺序是被严格保留的：$\mu$会和$c$配对，$\nu$则和$d$配对。

我的问题其实非常简单：在式(1)里，我能不能随意交换两个逆变或者协变指标的位置？

说得更直白点，下面这个等式是成立的吗？
$$\frac{\partial\left(\partial_cA_d\right)}{\partial\left(\partial_\mu A_\nu\right)}=\delta_c^\mu\delta_d\nu=\delta_c^{\color{red}{\nu}\delta_d}\color{red}{\mu}=\delta_\color{blue}{d}^{\mu\delta_\color{blue}{c}}\nu?$$
我产生这个疑问的原因是，既然式(1)非零的条件是所有洛伦兹指标都必须相等，那到底是什么限制了我们不能交换两个逆变（或者协变）指标呢？

补充问题 #

写完上面的内容后，我又突然想到另一个问题：为什么我们一定要用克罗内克δ的乘积形式来写这个导数，而不能直接写成
$$\frac{\partial\left(\partial_cA_d\right)}{\partial\left(\partial_\mu A_\nu\right)}=\delta_{cd}^{\mu\nu}$$
来替代式(1)？这个想法是我了解了广义克罗内克δ的相关内容之后冒出来的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1160986