关于维基百科、nLab及多部范畴论教材中极限定义是否存在错误的技术问询
我实在不敢相信这么多资料在同一件事上都出错了，但我又找不到自己推理里的漏洞——要么有人能指出我的问题，要么我就得去改维基百科，再给相关教材发勘误邮件了。
标准的图表极限定义是：它是该图表的锥范畴中的终对象。也就是说，图表的极限是一个以$C$为顶点的锥，满足对于该图表的任意以$C'$为顶点的锥，都存在唯一的从$C'$到$C$的态射，使得所有图表都交换。
我惊讶地发现，不少资料把定义里的“任意锥”替换成了“任意其他锥”，比如：
- 维基百科的定义：
图表$F:J\to C$的极限是一个到$F$的锥$(L, \phi)$，满足对于每一个其他到$F$的锥$(N, \psi)$，都存在唯一的态射$u:N\to L$，使得对所有$J$中的$X$，有$\phi_X\circ u=\psi_X$。
这个“other”从16年前的一次编辑起就存在于维基百科的定义里了。
- Ana Agore 所著《A First Course in Category Theory》（第110页）：使用了“for any other cone”的表述
- nLab：使用了“every other cone”的表述
- Valdis Laan 的《Introduction to category theory》讲义：虽然在第33页的极限定义（定义5.42）中用了“every cone”，但在第24页的乘积定义（定义5.1）里用了“any other object”，第30页的等化子定义（定义5.23）里用了“any other morphism”
- Bartosz Milewski 所著《Category Theory for Programmers》：甚至在第198页定义极限时，修改了自己之前在第56页给出的终对象定义——原终对象定义是“终对象是范畴中所有对象都有且仅有一个态射指向它的对象”，但定义极限时却写成：“现在我们可以把泛锥定义为锥范畴中的终对象。终对象的定义指出，存在唯一的态射从任意其他对象指向它。在我们的场景中，这意味着存在唯一的分解态射，从任意其他锥的顶点指向泛锥的顶点。我们把这个泛锥称为图表的极限”
与之相对的是，大多数资料要求对**所有锥（包括极限自身对应的锥）**都满足唯一性要求，比如：
- Tom Leinster 所著《Basic Category Theory》（第119页）：这是我目前找到的最好的范畴论入门书
- 经典教材《The Joy of Cats》（Adámek、Herrlich 和 Strecker 合著，第194页）
- Saunders Mac Lane 所著《Categories for the Working Mathematician》（第二版，第68页）
我一开始觉得，虽然带“other”的表述看起来没必要的复杂，但可能无关紧要——因为对所有其他锥的唯一性可以推导出对极限自身的唯一性？但事实似乎并非如此。
考虑这样一个范畴，其中$e\ne1_C$，$e\circ e=e$，$f\circ e=f$，$g\circ e=g$：
这个范畴中，积$A\times B$是离散范畴$\mathbf 2$到$A$和$B$的图表的极限。显然，这个图表唯一的锥是以$C$为顶点、态射$f$和$g$构成的锥。如果我们用“任意其他锥”的定义，那么因为没有其他锥，这个条件是空真（vacuously true）的，所以$C$会被当成这个图表的极限，也就是$A\times B$。但按照常规定义，它并不是极限，也不是积——因为存在两个不同的态射$e$和$1_C$能让图表交换：
（注：原文此处配有图示，描述了态射$e$和$1_C$分别与$f$、$g$复合后保持交换性的情况）
注意在这个例子里，即使使用带“other”的定义，极限仍然是唯一的（因为只有一个锥）。我不知道这种唯一性在一般情况下是否成立，但显然“极限在同构下唯一”的标准证明不再有效了——因为这个证明用到了从极限到自身的泛态射的唯一性。那些用“other”定义的资料似乎都没有给出这个基本事实的替代证明；比如Ana Agore在第112页从终对象的唯一性推导出极限的唯一性，而终对象的唯一性是在第11页通过将终对象的态射唯一性应用到终对象自身来证明的。所以看起来这些教材并不是故意使用一个和主流略有不同的定义。
所以，是我漏掉了什么关键细节，还是这些资料真的在这个定义细节上出错了？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者joriki
