非对称随机游走的概率计算及反射法适用性咨询

问题背景 #

我现在在研究非对称随机游走的概率问题：设 $(W_i)_{0 \leq i \leq n}$ 是从0出发的简单非对称随机游走（每步向上的概率为 $p \neq \frac{1}{2}$），定义 $W^n = \max\limits{0 \leq i \leq n} W_i$。已知 $n$ 和 $a$ 是正偶数，$b$ 是偶数，满足 $b \leq a \leq n$ 且 $2a - b \leq n$，并且已经得到以下概率公式：
$$P(W^_n \geq a, W_n = b) = \frac{n!}{\left(\frac{n-b}{2} +a\right)! \left(\frac{n+b}{2} - a\right)!} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n+b}{2}} \left(1-p\right)^{\frac{n-b}{2}}$$

(b) 待求解问题 #

需要计算 $P(W^*_n < a, W_n = b)$。

我的思路与疑问 #

在解决(a)部分时，我参考了一个适用于对称随机游走的论证思路，原文是：

"If $W^*_n \geq a$, you need to reflect the random walk the first time you hit $a$. Now $W_n$ will hit $b$ if you go down $a - b$ steps after the first time you hit $a$, this is equivalent to asking that the reflected walk goes up $a - b$ times, i.e., $W_n = a + (a - b) = 2a - b$."

我现在有两个疑问：

• 这个反射法的论证思路在非对称随机游走的场景下是否仍然适用？
• 我想通过补集思想来求解(b)，也就是用无限制条件下到达$b$的概率减去(a)部分得到的“到达$b$且最大值不小于$a$”的概率，公式如下：
  $$P(W_n^* < a, W_n = b) = P(W_n = b) - P(W_n^* \geq a, W_n = b)$$
  这个思路是否可行？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mprobability