关于序列sₙ中是否存在无穷多个0的技术问询

嘿，咱们先把问题里的定义和规则理清楚，再来看核心问题：

关键定义回顾 #

• 函数 f(x,n) 其实就是x个连续1组成的整数对n取模，用公式写就是：
  f(x,n) = \frac{10^x - 1}{9} \mod n
  这个分数永远是整数，完全不用担心整除问题~
• 序列 sₙ 的生成规则：
  从x=1开始依次计算f(x,n)得到一个结果序列：
  1. 如果序列进入非单点循环（比如[1,2,3,4,3,4,...]），sₙ就是循环的长度（例子里是2）
  2. 如果序列最终停在某个固定值（单点循环，比如[1,3,3,3,...]），sₙ是从x=1到首次到达这个固定值的步数
  3. 如果序列从x=1开始就一直是同一个值（比如[1,1,1,...]或[0,0,0,...]），sₙ为0（因为不需要任何步数就已经“停止”了）

核心问题：是否存在无穷多个n使得sₙ=0？ #

要回答这个问题，我们先搞清楚什么时候sₙ=0：
sₙ=0等价于序列f(x,n)从x=1开始就是常数，也就是对所有x≥1，f(x+1,n) = f(x,n) mod n。

根据f(x,n)的递推关系（x+1个1组成的数 = 10×x个1组成的数 + 1，所以f(x+1,n) = 10*f(x,n) + 1），代入常数条件可得：
10*c + 1 ≡ c mod n（其中c是这个固定常数）
化简得：9c + 1 ≡ 0 mod n

而x=1时f(1,n)=1，所以c=1 mod n，代入上式：
9*1 + 1 = 10 ≡ 0 mod n
这意味着n必须是10的正约数。

10的正约数只有4个：1、2、5、10，对应的sₙ都是0；而其他所有n都不满足这个条件——比如n=4时序列是[1,3,3,3,...]，s₄=1；n=25时序列是[1,11,11,11,...]，s₂₅=1，都不是0。

结论 #

不存在无穷多个n使得sₙ=0，只有有限个（1、2、5、10这四个）n满足sₙ=0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者look at me