二面体群$D_n$中含反射元素的区分、定义优化及命名问询

嗨，关于二面体群$D_n$里的这类元素，我来给你梳理下清晰的区分方式、更简洁的定义，还有它们的标准名称~

一、这类元素的标准名称 #

它们在群论里通常被称为反射元素（也可以叫「非旋转元素」），毕竟二面体群$D_n$本身就是正$n$边形的对称群：$r^i$这类元素对应正$n$边形的旋转变换，而你说的第二类元素对应正$n$边形的反射翻转变换，这个名称完全贴合它们的几何意义。

二、更简洁直接的定义方式 #

不用再纠结“含奇数个$s$”这种繁琐描述，有几种更清晰的定义角度：

• 陪集视角（群论最标准的定义）：
  旋转元素构成了$D_n$的一个指数为2的正规子群$\langle r \rangle = {e, r, r^2, ..., r^{n-1}}$，整个$D_n$刚好被这个子群分成两个互不相交的陪集：
  • 旋转子群本身：$\langle r \rangle$，对应你说的第一类元素$r^i$
  • 陪集$s\langle r \rangle = {sr^i \mid i=0,1,...,n-1}$，这就是你要定义的第二类元素集合
    因为指数为2，所以任何不在旋转子群里的元素，必然属于这个陪集。而且利用$D_n$的关键关系$sr^i = r^{{-i}s$，任何含奇数个$s$的元素最终都能化简成$sr}k$的形式，偶数个$s$的元素则会化简成$r^k$。
• 元素性质视角：
  这类元素有一个统一的性质：每个元素的阶都是2（验证一下：$(srⁱ⁾2 = sr^i sr^i = s^2 r^{-i} r^i = e$）。反过来，除了单位元$e$，以及当$n$为偶数时的旋转元素$r^{n/2}$（它的阶也是2），所有阶为2的元素都是这类反射元素。

三、快速区分这类元素的方法 #

• 陪集归属判断：直接看元素能否写成$r^{i$的形式，不行的话就属于第二类；或者利用群的陪集划分，只要元素是$s$和任意$r}i$的乘积，就属于这类。
• 阶数验证：除了上述两个特例（$e$和$n$偶时的$r^{n/2}$），阶为2的元素就是反射元素。
• 几何意义对应：如果从正$n$边形对称的角度看，旋转元素是绕中心转$2\pi i/n$的变换，反射元素是沿某条对称轴翻转的变换，直观就能区分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames