关于多元函数中∂f/∂g形式偏导数的存在性与取值的技术问询

嘿，这个问题问得特别好，很多刚接触多元微积分的同学都会有类似的疑惑，咱们一步步来拆解清楚：

首先要明确：$\frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial g(x_1,\cdots,x_n)}$这种写法并不是标准多元微积分里定义的偏导数。因为标准偏导数的定义是针对单个独立自变量的，而$g(x_1,\cdots,x_n)$是一个多元函数，本质是多个自变量的复合表达式，直接对它求"偏导数"没有天然的严谨定义。

接下来分情况聊聊它的合理应用场景和局限：

• 什么时候这个写法有意义？
  这种符号通常出现在约束条件下的变化率或者坐标系替换的场景中。比如，假设我们把$g$当作一个新的独立变量，同时选取其他和$g$线性无关的表达式作为新的变量（构成一组合法的坐标系），这时候$f$可以转换为关于新变量的函数，此时对$g$对应的新变量求偏导，就是你可能想表达的$\frac{\partial f}{\partial g}$。举个具体例子：对于二元函数的情况，令$u = cx + dy$，$v = dx - cy$（保证$u$和$v$线性无关，能构成新坐标系），那么$ax + by$可以写成关于$u$和$v$的函数，这时候$\frac{\partial(ax+by)}{\partial u}$就是你想要的"$\frac{\partial(ax+by)}{\partial(cx+dy)}$"，但这本质是新坐标系下的偏导数，不是直接对原函数$g$求偏导。

• 关于你猜测的偏导比值表达式
  你猜测的$\frac{\frac{\partial f}{\partial x_i}}{\frac{\partial g}{\partial x_i}}$其实是对链式法则的一种局限场景的套用：只有在**单变量情况（n=1）**下，这个式子是成立的——这就是普通导数的链式法则：$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$，所以$\frac{df}{dg} = \frac{\frac{df}{dx}}{\frac{dg}{dx}}$。但在多元情况（n≥2）下，这个式子完全不严谨：因为$g$的变化涉及多个自变量，你取不同$x_i$的偏导比值可能得到完全不同的结果。比如你的例子$\frac{\partial(ax+by)}{\partial(cx+dy)}$，按$x$的偏导比是$\frac{a}{c}$，按$y$的偏导比是$\frac{b}{d}$，这两个值只有当$ad=bc$（也就是$ax+by$和$cx+dy$线性相关）时才相等，否则矛盾，显然不能作为一个确定的"导数"值。

• 更严谨的数学框架下的解释
  如果一定要在数学上给$\frac{\partial f}{\partial g}$一个定义，通常会在微分形式的框架下讨论：$df$和$dg$都是微分形式，我们可以把$\frac{df}{dg}$看作一个函数$h$，使得$df = h \cdot dg + \text{其他与}dg\text{线性无关的微分形式}$。但这时候$h$不是唯一的，除非我们限制在某个子流形上（比如固定其他所有变量，只让$g$变化）。另外在拉格朗日乘数法的场景中，我们会讨论$f$相对于$g$的变化率，但那也是在约束条件下的变化率，并非标准偏导数。

总结一下：$\frac{\partial f}{\partial g}$这种写法本身没有通用的、严谨的定义，它的意义完全取决于具体的上下文。只有在单变量替换、特定约束条件等场景下，才能被赋予合理的含义，而且没有统一的"显式值"，不能简单用单个自变量的偏导比值来表示。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PermQi