关于满足f(0)=0的$C^1[0,1]$函数空间完备化后为再生核希尔伯特空间的证明问询

问题背景 #

设$X$是满足$f(0)=0$的$C^1[0,1]$函数构成的空间，我们定义如下内积：
$$\langle f, g \rangle = \int_0^1 f'(x) \overline{g'(x)} dx$$
我想要证明$X$在该内积诱导的范数下的完备化空间$H$是再生核希尔伯特空间，具体来说就是：对任意$x \in [0,1]$，存在常数$C_x > 0$，使得对所有$f \in H$都有
$$|L_x(f)| = |f(x)| \leq C_x|f|_H$$
其中$L_x$是取值泛函$L_x(f)=f(x)$。

我的进展 #

我已经成功证明了$L_x$在稠密子空间$X$上是有界的，这里用到了微积分基本定理，推导过程如下：
对任意$f \in X$，有
$$
\begin{aligned}
|L_x(f)| = |f(x)| = \Big | \int_0^x f'(y) dy \Big | \leq \int_0^x |f'(y)| dy \
\leq \sqrt{\int_0^x 1^{2dy}\sqrt{\int_0}x|f'(y)|^2dy} \leq \sqrt{x}|f'|_2 = \sqrt{x}|f|_H,
\end{aligned}
$$
显然取$C_x = \sqrt{x}$就满足有界性要求。但我现在的难题是如何把这个结论推广到完备化后的整个空间$H$上。

我目前想到了两个可能的方向：

• 利用$X$在$H$中的稠密性：每个$f \in H$都可以表示为$X$中某个序列${f_n}_{n=1}^\infty$的极限（即$f_n$按$H$的范数收敛到$f$），然后通过不等式的极限性质来推导；
• 尝试对极限函数$f$建立微积分基本定理：我记得有不少关于$C^1$函数极限的结论，比如在某些条件下，收敛序列的极限函数是绝对连续的，这时候依然能应用微积分基本定理，这似乎是可行的方向。

我的疑问 #

我是不是漏掉了某个能把这些思路串联起来的关键定理？或者有没有更直接的、利用极限性质来推导的方法？如果有人能指点一下，我会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kodiak