替代循环式随机通过率算法的失败次数概率权重计算求助

大家好，我是做计算机工程（软件方向）的，不是数学专业出身，所以除了PEMDAS之外的数学公式对我来说理解起来有点费劲，希望尽量用直白的方式交流～

我现在要把一款旧软件移植到新环境，得保证功能行为完全一致，但又想优化原来那种比较朴素的循环算法。先给大家看看原来的核心逻辑代码：

Pass = 0
Fail = 0

while Pass < Total:
    Percent = Random( 1 to 100 inclusive )
    if Percent < 97:
        Pass += 1
    elif Percent == 97:
        break
    elif Percent > 97:
        Fail += 1
        Pass = Total

return Pass, Fail

用大白话解释这个算法就是：不断掷100面的骰子，直到拿到Total次“通过”为止。掷出的结果小于97就算通过；大于97就算失败，而且一旦失败就直接终止循环；等于97的话，也直接终止循环，不会再有失败的可能。

我的目标是彻底去掉这个循环，直接计算任意Total值对应的失败次数的概率，然后用带权重的随机选择来生成失败次数（比如Failures = Weighted Random( 1 to Total, with weights[ 1 to Total ] )），但我不知道怎么计算这些权重。

我自己写了个程序跑原来的算法，当Total=3的时候，统计了拿到3次通过前的失败次数和对应的频率：

我就是搞不懂怎么把权重缩放成和这个统计结果匹配的样子，也不确定这个问题属于数学里的哪个领域，希望能得到大家的帮助～

后来在WW1和Misha Lavrov的帮助下，我找到了对应的计算方法，分享给有同样需求的朋友：

1. 计算「失败n次且在遇到97之前就拿到了t次通过」的概率函数P(n, t) #

def P(n, t):
    return binomialcoeff(t + n - 1, n) * pow(0.96, t) * pow(0.03, n)

当t=3时的计算结果：

2. 计算「失败n次且在拿到t次通过之前遇到了97」的概率函数S(n, t) #

def S(n, t):
    sigma = 0
    for k in range(0, t):
        sigma += binomialcoeff(n + k, k) * pow(0.96, k) * pow(0.03, n)
    return sigma * 0.01

当t=3时的计算结果：

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jason Brown