关于巴拿赫空间上多项式导数及粗糙路径框架下泰勒展开的若干疑问

我正在阅读Lyon、Caruana和Lévy所著的《Differential Equations Driven by Rough Paths》，但对第1.4.2节开头的部分完全摸不着头脑。

设$V$是有限维巴拿赫空间。对于整数$K \geq 0$，令$P: V \to \mathbb{R}$为$k$次多项式。设$X : [0,T] \to V$是利普希茨连续路径。若$P^1:V \to L(V,\mathbb{R})$表示$P$的导数，则泰勒定理断言，对所有$t \in [0,T]$，
$$
P(X_t) = P(X_0) + \int_0^t P^1(X_s)dX_s.
$$
现在设$P^2 : V \to L(V \otimes V, \mathbb{R})$表示$P$的二阶导数。回忆$L(V \otimes V, \mathbb{R})$是$V$上的双线性形式空间。代入上式可得：
$$
P(X_t) = P(X_0) + P^1(X_0) \int_{0<u_1<t}dX_{u_1} + \iint_{0<u_1<u_2<t} P^2(X_u) dX_{u_1} \otimes dX_{u_2}.
$$
积分在杨积分（Young's sense）意义下理解。

我对以下几个概念存在困惑：

• 我只熟悉环上的多项式，不了解巴拿赫空间上的多项式。这里的乘法从何而来？
• 为什么多项式的导数是从$V$到$V$到$\mathbb{R}$的线性映射空间的映射？我完全搞不懂这一点。
• 我们是如何得到第一个泰勒表示式的？
• 我猜测二阶导数作为双线性映射的定义遵循与一阶导数相同的推理，但还是想弄明白背后的直觉是什么？

任何帮助都将不胜感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bombadil