寻求SL(2,ℝ)中使得轨道{u_tgΓ}在G/Γ中稠密的具体元素g的实例

嘿，这个问题问得很有意思！先快速梳理下背景设定：
我们令$G:=\text{SL}(2,\mathbb R)$，$\Gamma:=\text{SL}(2,\mathbb Z)$，以及单参数子群$u_t=\begin{bmatrix}1 & t \0 & 1\end{bmatrix}, t\ge 0$。你提到遍历论的结论——对$G/\Gamma$上Haar测度几乎所有的点$g\Gamma$，轨道${u_tg\Gamma}_{t\ge 0}$在$G/\Gamma$中稠密，这点没错，Howe-Moore定理确实能推出$u_t$在$G/\Gamma$上的作用是遍历的，进而得到这个几乎处处的稠密性。

不过你要找具体的g实例，这就得结合丢番图逼近的相关结论了，核心确实和g的元素在有理数域上的线性独立性有关。这里给你几个明确的例子：

• 考虑矩阵$g=\begin{bmatrix}\sqrt{2} & \sqrt{3} \0 & 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}$，它显然属于$\text{SL}(2,\mathbb R)$（行列式为$\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{3} \times 0 = 1$）。由于$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$在$\mathbb Q$上线性无关（不存在不全为0的有理数$a,b,c$使得$a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}=0$），对应的轨道${u_tg\Gamma}_{t\ge 0}$就是$G/\Gamma$中的稠密集。
• 再比如$g=\begin{bmatrix}\pi & e \0 & 1/\pi\end{bmatrix}$，同样满足行列式为1的条件，而且$\pi$和$e$是代数独立的（自然满足$\mathbb Q$上的线性无关性），这个g对应的轨道也会在$G/\Gamma$中稠密。

背后的逻辑是：当g的元素满足合适的丢番图条件时，轨道${u_tg\Gamma}$的稠密性等价于：对任意非零有理数对$(p,q)$，线性函数$t \mapsto p(g_{11}t + g_{12}) + qg_{22}$不会频繁取到有理数。而g的元素在$\mathbb Q$上的线性独立性（或更强的丢番图性质），恰好能保证轨道不会被局限在$G/\Gamma$的某个真闭子集里。

总结一下，只要你选取的$g \in \text{SL}(2,\mathbb R)$满足其元素在有理数域上线性无关（或满足更强的丢番图逼近条件），就可以得到稠密的轨道。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者taylor