请求检查我对λ演算中一则命题的证明尝试

大家好，我正在研读Barendregt的《The Lambda Calculus》，最近尝试证明第二章§1里的一则命题，想请各位帮忙看看我的证明思路有没有问题。先把相关定义和我的证明过程列出来：

定义 #

首先给出上下文（context）的相关定义：

$$
\begin{align}
\text{A $context$ C[ ]}&\text{is a term with some holes in it. More formally,}
\
&\text{$x$ is a context}
\
&\text{[ ] is a context}
\
&\text{if $C_1$[ ] and $C_2$[ ] are contexts, then so are $C_1$[ ]$C_2$[ ] and $(\lambda x.C_1$[ ]$)$}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&\text{If $C$[ ] is a context and $M \in \Lambda$, then $C$[$M$] denotes the result of placing $M$ in the holes of $C$[ ].}
\
&\text{In this act free variables of $M$ may become bound in $C$[$M$]}
\end{align}
$$

示例：$C$[ ] $\equiv$ $\lambda x.x(\lambda y.$[ ]$)$ 是一个上下文。如果 $M \equiv xy$，那么 $C$[$M$]$\equiv\lambda x.x(\lambda y.xy)$

还有几点补充说明：
$$
\begin{align}
&\text{Contexts are not considered modulo $\alpha$-congruence.}
\
&\text{The essential feature of a context $C$[ ] is that a free variable in $M$ may become bound in $C[$M$].$}
\
&\text{$Par$ $abus$ $de$ $langage$ we write $C$[ ] $\in \Lambda$ to indicate that $C$[ ] is a context}
\end{align}
$$

命题 #

需要证明的命题是：
$$\forall C[\space\space\space]\space\forall \space \vec{x} \space \exists F \space \forall M \in \Lambda^0(\vec{x})\space\space\space C[M] = F(\lambda \vec{x}.M)$$

我的证明尝试 #

按照书中提示，我对上下文$C$[ ]的结构做归纳证明：

• 情况1：$C$[ ]是某个变量，比如$x$
  此时取 $F = \lambda y.x$，那么 $F(\lambda \vec{x}.M) = x = C[M]$，符合要求。

• 情况2：$C$[ ]就是[ ]（空上下文）
  此时取 $F = \lambda y.$[ ]，那么 $F(\lambda \vec{x}.M) = [ ] = C[M]$，符合要求。

• 情况3：$C$[ ]是$C_1$[ ]$C_2$[ ]（两个上下文的应用）
  根据归纳假设，取 $F = \lambda y.(C_1[y\vec{x}]C_2[y\vec{x}])$，那么 $F(\lambda \vec{x}.M) = C[M]$（这里用到了归纳假设）。

• 情况4：$C$[ ]是$\lambda y.C_1$[ ]（抽象上下文）
  同样根据归纳假设，取 $F = \lambda z.(\lambda y.C_1[z\vec{x}])$，那么 $F(\lambda \vec{x}.M) = C[M]$（用到归纳假设）。

如果需要我补充更多定义或者细节，我随时可以提供，麻烦各位帮我看看这个证明是否正确，有没有疏漏或者需要修正的地方～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ZarakshR