关于表达式$Q = A\cos\phi + \sqrt{A^2\cos^2\phi}$的化简疑问

嘿，这个问题的核心其实是你忽略了平方根的非负性规则！咱们一步步理清楚：

首先要记住一个关键知识点：对于任意实数$x$，$\sqrt{x^2} = |x|$，而不是直接等于$x$。因为平方根运算的结果永远是非负的，不管根号里的数是正还是负。

回到你的问题，已知$A$是正数，那咱们可以把原式里的根号部分拆解一下：
$$\sqrt{A^2\cos2\phi} = |A\cos\phi| = A|\cos\phi|$$
（因为$A>0$，正数的绝对值就是它本身，所以可以把$A$从绝对值符号里提出来）

这样原式就变成了：
$$Q = A\cos\phi + A|\cos\phi|$$

接下来分两种情况讨论就清晰了：

• 当$\cos\phi \geq 0$时，$|\cos\phi| = \cos\phi$，这时候$Q = A\cos\phi + A\cos\phi = 2A\cos\phi$，也就是你一开始化简的第二个式子，这时候是成立的；
• 当$\cos\phi < 0$时，$|\cos\phi| = -\cos\phi$，代入后$Q = A\cos\phi + A(-\cos\phi) = 0$，这就和你代入$\cos\phi=-1$得到的结果一致了。

你之前的第二个式子之所以出错，是因为直接默认$\sqrt{A^2\cos2\phi} = A\cos\phi$，但这个等价关系只有在$\cos\phi$是非负数的时候才成立。当$\cos\phi$为负时，根号的结果是它的相反数，而不是本身，所以不能直接合并成$2A\cos\phi$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rdemo