厄米特矩阵特征值与其实部虚部构成的分块矩阵特征值关系的疑问

嘿，这个问题我刚好琢磨过，咱们一步步拆解开就能搞懂这个等式为啥成立～

首先先把各个符号的定义明确清楚，避免歧义：

• $\mathbf{Q}$是厄米特矩阵，它的所有特征值都是实数，并且可以分解为$\mathbf{Q} = \operatorname{Re}{\mathbf{Q}} + i\operatorname{Im}{\mathbf{Q}}$，其中$\operatorname{Re}{\mathbf{Q}}$是实对称矩阵，$\operatorname{Im}{\mathbf{Q}}$是实反对称矩阵（这是厄米特矩阵的核心性质：$\mathbf{Q}^H = \mathbf{Q}$，转置共轭等于自身，展开推导就能得到实部对称、虚部反对称的结论）。
• $\tilde{\mathbf{Q}}$是由$\mathbf{Q}$的实部和虚部构造的2n阶实对称矩阵，具体形式为$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\operatorname{Re}{\mathbf{Q}} & -\operatorname{Im}{\mathbf{Q}} \\operatorname{Im}{\mathbf{Q}} & \operatorname{Re}{\mathbf{Q}}\end{bmatrix}$。
• $\lambda_+(\mathbf{M}) = \max\left{\lambda_{\max}(-\mathbf{M}), 0\right}$，这里$\lambda_{\max}(\cdot)$表示矩阵的最大特征值，简单来说，$\lambda_+$就是取“$-M$的最大特征值”和0的较大者，本质上如果$M$存在非正的最小特征值，就取这个最小特征值的绝对值，否则取0。

接下来推导核心的等式关系：

1. $\tilde{\mathbf{Q}}$的特征值与$\mathbf{Q}$特征值的关联
   设$\lambda$是$\mathbf{Q}$的任意一个实特征值，对应的复特征向量为$\mathbf{x} = \mathbf{u} + i\mathbf{v}$（$\mathbf{u},\mathbf{v}$都是实向量），那么$\mathbf{Q}\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$。将$\mathbf{Q} = \operatorname{Re}{\mathbf{Q}} + i\operatorname{Im}{\mathbf{Q}}$代入并展开：
   $$(\operatorname{Re}{\mathbf{Q}} + i\operatorname{Im}{\mathbf{Q}})(\mathbf{u} + i\mathbf{v}) = \lambda(\mathbf{u} + i\mathbf{v})$$
   分离实部和虚部后得到两个实线性方程：
   $$\operatorname{Re}{\mathbf{Q}}\mathbf{u} - \operatorname{Im}{\mathbf{Q}}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{u}$$
   $$\operatorname{Im}{\mathbf{Q}}\mathbf{u} + \operatorname{Re}{\mathbf{Q}}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$$
   把这两个方程组合成分块矩阵的形式，就是：
   $$\begin{bmatrix}\operatorname{Re}{\mathbf{Q}} & -\operatorname{Im}{\mathbf{Q}} \\operatorname{Im}{\mathbf{Q}} & \operatorname{Re}{\mathbf{Q}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{u} \\mathbf{v}\end{bmatrix} = \lambda\begin{bmatrix}\mathbf{u} \\mathbf{v}\end{bmatrix}$$
   而$\tilde{\mathbf{Q}}$是这个分块矩阵的$\frac{1}{2}$，两边同时乘以$\frac{1}{2}$可得：
   $$\tilde{\mathbf{Q}}\begin{bmatrix}\mathbf{u} \\mathbf{v}\end{bmatrix} = \frac{\lambda}{2}\begin{bmatrix}\mathbf{u} \\mathbf{v}\end{bmatrix}$$
   这说明$\frac{\lambda}{2}$是$\tilde{\mathbf{Q}}$的一个特征值。换句话说，$\tilde{\mathbf{Q}}$的所有特征值就是$\mathbf{Q}$所有特征值的$\frac{1}{2}$（不用纠结重数，因为我们只关心最大特征值的相关计算）。

2. 计算$\lambda_+(\mathbf{Q})$和$\lambda_+(\tilde{\mathbf{Q}})$
   对于$\lambda_+(\mathbf{Q})$，根据定义：
   $$\lambda_+(\mathbf{Q}) = \max\left{\lambda_{\max}(-\mathbf{Q}), 0\right}$$
   由于$-\mathbf{Q}$的特征值是$-\lambda$（$\lambda$是$\mathbf{Q}$的特征值），所以$\lambda_{\max}(-\mathbf{Q}) = \max\left{-\lambda \mid \lambda \in \text{特征值}(\mathbf{Q})\right} = -\min\left{\lambda \mid \lambda \in \text{特征值}(\mathbf{Q})\right}$，代入后得到：
   $$\lambda_+(\mathbf{Q}) = \max\left{-\min\lambda(\mathbf{Q}), 0\right}$$

   对于$\lambda_+(\tilde{\mathbf{Q}})$，用同样的逻辑：
   $-\tilde{\mathbf{Q}}$的特征值是$-\frac{\lambda}{2}$，所以$\lambda_{\max}(-\tilde{\mathbf{Q}}) = \max\left{-\frac{\lambda}{2} \mid \lambda \in \text{特征值}(\mathbf{Q})\right} = -\frac{1}{2}\min\left{\lambda \mid \lambda \in \text{特征值}(\mathbf{Q})\right}$，代入$\lambda_+$的定义：
   $$\lambda_+(\tilde{\mathbf{Q}}) = \max\left{-\frac{1}{2}\min\lambda(\mathbf{Q}), 0\right} = \frac{1}{2}\max\left{-\min\lambda(\mathbf{Q}), 0\right}$$

3. 最终等式推导
   对比上面两个式子，显然可以直接得到：
   $$\lambda_+(\mathbf{Q}) = 2\lambda_+(\tilde{\mathbf{Q}})$$

这样就完全对应上论文里的结论啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tyrela