独立同分布U(0,1)随机变量最小值的Lₚ阶期望收敛性证明问询

大家好，我最近在推导一道概率收敛题时卡壳了，想请教各位大佬帮忙解惑。题目如下：

已知${X_i}$是独立同分布的随机变量，且$X_i\sim U\left(0,1\right)$。证明：$Y_1=\min\left{X_1,X_2,\ldots,X_n\right}$依$p\ge1$阶期望收敛于$Y=0$，即证$\lim _{n\to \infty }E\left[\left|Y_1-Y\right|^p\right]=0$。

我的尝试与卡点 #

我先做了如下推导：
$$\lim _{n\to \infty }\left(E\left[\left|Y_1-Y\right|^p\right]\right)=\lim _{n\to \infty }\left(E\left[\left|Y_1\right|^p\right]\right)=\lim _{n\to \infty }\left(E\left[\left(\min\left{X_1,X_2,\ldots,X_n\right}\right)^p\right]\right)$$
之后我错误地套用了一个不等式：
$$\le \lim _{n\to \infty }\left(E\left[\left|X_i\right|^p\right]\right):\forall i\in \left{1,2,\ldots,n\right}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _0^1xp:dx\right)=\frac{1}{p+1}\ne 0$$
这个结果显然不对，我怎么都推不出极限为0的结论，不知道问题出在哪，也找不到正确的推导方向。

问题分析与正确推导 #

别担心，你的核心问题是用了一个过于宽松的上界——虽然$\min{X_1,...,X_n} \leq X_i$对任意$i$成立，且非负变量的$p$次方保持单调性，但这个上界是个常数，完全无法体现$n$趋向无穷时的变化趋势。我们需要先求出$Y_1$的分布，再计算其$p$阶期望的具体表达式。

步骤1：求$Y_1$的概率分布

首先计算$Y_1 = \min{X_1,...,X_n}$的累积分布函数（CDF）：
对于$y \in [0,1]$，
$$P(Y_1 \leq y) = 1 - P(Y_1 > y) = 1 - P(X_1 > y, X_2 > y, ..., X_n > y)$$
由于$X_i$独立同分布，上式可化简为：
$$=1 - [P(X_1 > y)]^n = 1 - (1 - y)^n$$

对CDF求导得到概率密度函数（PDF）：
$$f_{Y_1}(y) = n(1 - y)^{n-1}, \quad y \in [0,1]$$

步骤2：计算$E[Y_1^p]$

利用PDF计算$p$阶期望：
$$E[Y_1^p] = \int_0^1 y^p \cdot n(1 - y)^{n-1} dy$$

这个积分可以用Beta函数求解，Beta函数定义为$B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t){b-1}dt = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，令$a=p+1$，$b=n$，代入得：
$$\int_0^1 y^p(1-y){n-1}dy = B(p+1, n) = \frac{\Gamma(p+1)\Gamma(n)}{\Gamma(p+1 + n)}$$

结合伽马函数的性质$\Gamma(k)=(k-1)!$（$k$为正整数），化简后：
$$E[Y_1^p] = n \cdot \frac{p! \cdot (n-1)!}{(p+n)!} = \frac{p!}{(n+1)(n+2)...(n+p)}$$

步骤3：求极限

当$n \to \infty$时，分母是$n$的$p$次多项式，分子为常数$p!$，因此：
$$\lim_{n \to \infty} E[Y_1^p] = \lim_{n \to \infty} \frac{p!}{(n+1)(n+2)...(n+p)} = 0$$

由此可得$\lim _{n\to \infty }E\left[\left|Y_1-Y\right|^p\right] = 0$，即$Y_1$依$p$阶期望收敛于0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben Shaines