环中单同态与子环等价命题的范畴论推广及具体范畴有效性问询
嘿，最近捣鼓环论的时候突然琢磨出这么个等价关系：要证明环$A$是环$B$的子环，只要找个从$A$到$B$的单射同态，再用第一诺特同构定理就搞定了；反过来，如果$A$本来就是$B$的子环，那包含映射天然就是单的环同态。说白了就是这么个核心命题：
命题：环同态$f:A\to B$是单同态 $\iff$ $A$同构于$B$的某个子环$f(A)$
现在我好奇两个事儿：这个命题能不能推广到任意范畴（哪怕是那种没法直接对应到集合的非具体范畴）？还有，它在所有具体范畴里都成立吗？
先聊聊范畴论里的对应概念
要回答这个问题，得先把环论里的概念翻译成范畴论的通用语言：
- 环里的“单同态”对应范畴里的单态射（monomorphism）：一个态射$f:X\to Y$是单态射，意思是对任意两个态射$g_1,g_2:Z\to X$，只要$f\circ g_1 = f\circ g_2$，就必有$g_1=g_2$（简单说就是“能左消去”）。
- 环里的“子环”对应范畴里的子对象：子对象不是一个具体的“子集”，而是一类等价的单态射——如果两个单态射$f:X\to Y$和$f':X'\to Y$之间存在同构$h:X\to X'$使得$f'\circ h = f$，那它们就代表同一个子对象。
1. 非具体范畴的推广情况
这个等价命题没法直接照搬到任意非具体范畴里，核心原因是非具体范畴里没有“元素”“子集”这种直观的集合论概念，子对象的定义完全是用态射的等价类来刻画的。不过有个方向是成立的：
- 如果$f:X\to Y$是单态射，那它一定代表了$Y$的一个子对象（也就是它所在的等价类）；
- 反过来，每个子对象的代表元都是一个单态射。
但这里的“$X$同构于$Y$的子对象”和环论里“$A$同构于$B$的子集子环”不是一回事——非具体范畴里根本没有“子集”的说法，只能通过态射的等价关系来描述。举个例子，群胚范畴（对象是群胚，态射是群胚之间的函子）里，单态射是忠实函子，子对象是等价的忠实函子，但你没法说“某个群胚是另一个群胚的子集子群胚”，因为群胚本身就没有集合层面的“包含”结构。
2. 具体范畴里的有效性
具体范畴是指能嵌入到集合范畴$\mathbf{Set}$的范畴——简单说就是每个对象都对应一个集合，态射对应集合之间的函数，并且保持复合和恒等。
大多数常见具体范畴是成立的
在环、群、模、拓扑空间这些咱们常用的具体范畴里，单态射恰好就是集合层面的单射，这时候你的命题完全成立：
- 要是$f:A\to B$是单态射（也就是集合函数是单射），那$f(A)$就是$B$的子对象（比如子环、子群），而且$A$和$f(A)$同构；
- 要是$A$是$B$的子对象（比如子环），那包含映射肯定是单态射（集合单射，同时也是范畴里的单态射）。
但不是所有具体范畴都成立
有些具体范畴里，单态射和集合层面的单射不是一回事，这时候你的命题就失效了。举个典型的例子：紧豪斯多夫空间范畴$\mathbf{CHaus}$。这里的单态射要求是拓扑嵌入——也就是连续单射，并且$f(X)$作为$Y$的子空间和$X$同胚。但集合层面的连续单射不一定是单态射：比如把半开区间$[0,1)$连续单射映射到单位圆$S^1$（$t\mapsto e^{2\pi i t}$），这个映射在集合上是单射，但在$\mathbf{CHaus}$里不是单态射——因为$[0,1)$不是紧豪斯多夫空间，没法作为$S1$的紧子空间，所以这个映射不能代表$S1$的子对象。
再比如交换环的谱范畴$\mathbf{Spec}$，这里的单态射不仅要求拓扑空间的映射是单射，还要求结构层的同态满足条件，单纯集合层面的单射拓扑映射不一定是范畴里的单态射。
总结一下：
- 非具体范畴里，没法直接照搬环论里的等价命题，但可以用单态射和子对象的对应关系来类比；
- 具体范畴里，只有当“单态射等价于集合层面的单射”时，你的命题才成立，否则就不成立。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user815597
