USAJMO备考求助：正整数集到正整数集的任意函数中存在满足特定不等式的正整数a、b的证明

大家好，我正在准备USAJMO，不过卡在了下面这个问题上，真心希望能得到一些帮助或者提示！

对于任意函数（不一定是双射）$f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$，证明：存在正整数$a$和$b$，使得$f(a) \le f(a+b) \le f(a+2b)$。

我能很轻松地证明当$f$是单调递增或单调递减函数的情况，但对于$f$不单调的一般情况完全没头绪，求各位帮忙！

我目前的思考： #

• 单调递减的函数一定有下界，所以从某个正整数$x$开始，$f(x)$之后的函数值应该就保持那个最小值不变了……
• 但如果函数值一直上下波动、没有固定趋势的话，我就不知道该怎么推进证明了……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user908645