利用最大值原理由L¹范数导出C⁰估计的技术问询（针对arXiv:1401.7366中推论4.6的证明）

嘿，各位大佬好！我正在研究一篇论文里的推论4.6，目前卡在用最大值原理推导从L¹到C⁰的估计这一步，想跟大家请教下具体的技术细节！

问题背景 #

考虑$\mathbb{R}^4$中带标准度量的半径为$r$的球$B_r$，设光滑有界函数$\phi: B_1 \to \mathbb{R}$满足如下方程：
$$\Delta |\phi|^2 = Q(\phi, \phi) + P(\phi)$$
其中：

• $Q(\phi, \phi)$是一个二次型项，满足全局有界性条件$|Q(\phi, \phi)| \leq C|\phi|^2$（$C$是固定常数）；
• $P(\phi) \geq 0$是一个非负项。

推论的结论是：存在一个与$\phi$无关的常数$D$，使得
$$\sup_{x \in B_{1 - \varepsilon}}|\phi|^2 \leq D\int_{B_1} |\phi|^2$$

我目前的思路 #

我理解这应该是最大值原理的直接应用，已经梳理出部分步骤：

1. 构造辅助函数$u$，使其满足泊松方程$\Delta u = Q(\phi, \phi)$，并且在边界$\partial B_1$上取$u = |\phi|^2$；
2. 对$|\phi|^2 - u$应用最大值原理：因为$\Delta(|\phi|^2 - u) = P(\phi) \geq 0$，所以这个差函数在$B_1$内的最大值只能在边界上取得，从而得到$|\phi|^2 \leq u$在$B_1$内处处成立。

卡壳的地方 #

到这一步之后，我知道需要用到泊松方程解的估计，大概是要证明形如
$$\sup_{x \in B_{1 - \varepsilon}} u \leq A|\Delta u|_{L^1(B_1)}$$
的不等式（$A$是与$\varepsilon$相关的常数），这样结合$|\phi|^2 \leq u$和$|Q(\phi,\phi)| \leq C|\phi|^2$的条件，就能推导出最终的推论。但我不太清楚具体怎么推导这个L¹到C⁰的估计，尤其是如何把$u$的上确界和$\Delta u$的L¹范数联系起来，希望能得到大家的指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Holmes