单子自复合能否构成新单子？范畴论验证与通用解法问询
你从编程视角切入的这个范畴论问题，其实是函数式编程和范畴论交叉领域里的经典疑问。先直接给你结论：一般情况下，单子$(T, \eta, \mu)$的自复合$T^2$并不自动构成一个单子，你自己推导的右单位律失效的情况完全正确，你的直觉也没问题——哪怕换其他$\mu'$的定义，没有额外结构的话也没法满足所有单子律。
先复盘你的推导，确认结论正确性
你定义的候选单位$\eta' = \eta T \circ \eta$和乘法$\mu' = \mu T \circ \mu T^2$，我们再理一遍：
- 左单位律：你推导的$\mu' \circ \eta' T^2 = \text{id}$是对的，因为利用原单子的左单位律$\mu \circ \eta T = \text{id}$，可以一步步化简到恒等映射；
- 右单位律：$\mu' \circ T^2\eta'$展开后确实卡壳了——原单子的单位律只有$\mu \circ \eta T = \text{id}$和$\mu \circ T\eta = \text{id}$，这里的$T^2\eta$是$T(T\eta)$，和原单子的单位律完全不匹配，没法化简到恒等，所以右单位律直接失效。
而且不止你选的这个$\mu'$，其他5种可能的$\mu'$组合（比如$\mu' = T\mu \circ \mu T^2$这类）也都没法同时满足三个单子律——本质原因是，两个$T$层叠后，没有额外的“协调结构”让它们的单位和乘法规则兼容。
什么时候$T^2$能成为单子？需要什么额外结构？
要让$T^2$成为合法单子，核心是给$T$加上自分配律（self-distributive law）：也就是一个自然变换$\lambda: T^2 \to T$，满足以下四个和原单子的$\eta$、$\mu$兼容的条件：
- $\lambda \circ \eta T = T\eta$
- $\lambda \circ T\eta = \eta$
- $\lambda \circ \mu T = \lambda \circ T\lambda$
- $\lambda \circ T\mu = \lambda \circ \lambda T$
有了这个$\lambda$，我们就可以重新定义$T^2$的单子结构：
- 单位依然用你定义的$\eta' = \eta T \circ \eta$；
- 乘法定义为$\mu' = T\lambda \circ \mu T^2$（或者根据$\lambda$的方向调整为$\lambda T \circ T\mu$）。
这样调整后，$\lambda$的兼容性条件就能帮我们补全之前缺失的推导步骤，让三个单子律全部成立。
联系Haskell中的Traversable结构
你提到的Haskell里的Traversable类型类，确实能为单子提供类似的“协调能力”：当$T$既是Monad又是Traversable时，我们可以通过sequenceA函数（利用$T$自身的Applicative实例，而单子天然是Applicative）得到一个$T(T a) \to T a$的映射，这个映射其实就对应范畴论里的自分配律$\lambda$。所以在Haskell语境下，Traversable + Monad的组合确实能让$T^2$成为单子。
总结
- 普通单子的自复合$T^2$不会自动成为单子，你的推导和直觉都没问题；
- 要让$T^2$成为单子，必须给$T$添加额外结构，范畴论层面的核心是自分配律；
- 在Haskell中，
Traversable类型类可以为单子提供所需的自分配律结构，从而让$T^2$成为合法单子。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Артём Мухамед-Каримов МПБ-802
