含特定结构非凸可行域的优化问题求解方案咨询

大家好，我现在碰到一个带非凸可行域的优化问题，想请教各位有没有合适的解决思路。问题具体如下：

$$
\begin{align}
&(\text{P1})\ \underset{\bf x}{\min} f({\bf x})={\bf x}^T{\bf x}+{\bf f}^T{\bf x}\
&\text{s.t.}\
&|\mathbf{x}-\mathbf{x}_z|_2\geq r,\ z=1,\cdots,M.\
&\mathbf{1}\leq\mathbf{x}\leq\mathbf{10},
\end{align}
$$

其中$r,M, \mathbf{x}_z(z=1,\cdots,M)$和$\mathbf{f}$都是已知常数。

我原本打算通过把可行域松弛成凸集，用逐次凸逼近（SCA）的方法来处理。具体操作是在第$i$次迭代的解$\mathbf{x}^i$处，对非凸约束做一阶泰勒展开，得到近似的凸约束：
$$|\mathbf{x}-\mathbf{x}_z|_2\geq\frac{1}{|\mathbf{x^{i}-\mathbf{x}_z|_2}(\mathbf{x}i}-\mathbf{x}_z)^T(\mathbf{x}-\mathbf{x}_z)$$

这样原问题（P1）就转化为下面的凸优化问题（P2）：

$$
\begin{align}
&(\text{P2})\ \underset{\bf x}{\min} f({\bf x})={\bf x}^T{\bf x}+{\bf f}^T{\bf x}\
&\text{s.t.}\
&\frac{1}{|\mathbf{x^{i}-\mathbf{x}_z|_2}(\mathbf{x}i}-\mathbf{x}_z)^T(\mathbf{x}-\mathbf{x}_z)\geq r,\ z=1,\cdots,M.\
&\mathbf{1}\leq\mathbf{x}\leq\mathbf{10}.
\end{align}
$$

但现在遇到了瓶颈：虽然（P2）是凸问题，但这种近似会大幅压缩原本每个非凸约束对应的可行域范围，经常导致（P2）的可行域直接为空，迭代根本没法继续更新解。

想请教各位，针对这种有特定结构的非凸可行域，有没有更有效的处理思路？非常感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cuz Taylor