求圆锥与平面交线双曲线在平面正交坐标系下的方程

我来一步步帮你拆解这个问题，核心思路就是把空间中圆锥与平面的交线，通过坐标变换映射到平面内的正交(X,Y)坐标系中，再化简成双曲线的标准形式。下面是具体的操作步骤：

1. 构造平面内的正交坐标系基向量 #

首先，平面的法向量是 $\boldsymbol{n}=(p,q,r)$，我们需要找到平面内两个正交的单位向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$，作为(X,Y)轴的方向：

• 第一步找第一个向量 $\boldsymbol{u}$：如果 $p$ 和 $q$ 不同时为0，取向量 $\boldsymbol{v}_0=(q,-p,0)$（这个向量和法向量 $\boldsymbol{n}$ 垂直，因为 $p\cdot q + q\cdot(-p) + r\cdot0=0$），然后单位化得到 $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{v}_0 / |\boldsymbol{v}_0|$；如果 $p=q=0$（平面平行于xy平面），直接取 $\boldsymbol{u}=(1,0,0)$ 即可。
• 第二步找第二个向量 $\boldsymbol{v}$：利用叉乘，$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{u}$，然后单位化。叉乘的结果天然和 $\boldsymbol{n}$、$\boldsymbol{u}$ 都垂直，而且 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 会自动正交，完美符合正交坐标系的要求。

2. 建立空间点与平面(X,Y)坐标的对应关系 #

先找平面上的一个参考点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，比如：

• 如果 $r\neq0$，令 $x_0=0,y_0=0$，代入平面方程得 $z_0=s/r$，即 $P_0=(0,0,s/r)$；
• 如果 $r=0$ 但 $p\neq0$，令 $y_0=0,z_0=0$，得 $x_0=s/p$，即 $P_0=(s/p,0,0)$。

平面上任意一点的空间坐标都可以表示为：
$$(x,y,z) = P_0 + X\boldsymbol{u} + Y\boldsymbol{v}$$
这里的 $X$ 和 $Y$ 就是平面内正交坐标系的坐标。

3. 代入圆锥方程并化简 #

把上面的坐标表达式代入圆锥方程 $x^2+y2=a^2z2$，展开后会得到一个关于 $X,Y$ 的二次方程，形式为：
$$AX^2 + BXY + CY^2 + DX + EY + F = 0$$
其中各项系数可以通过展开计算得到：

• $A = u_1^2 + u_2^2 - a^2u_32$
• $B = 2(u_1v_1 + u_2v_2 - a^2u_3v_3)$
• $C = v_1^2 + v_2^2 - a^2v_32$
• $D = 2(x_0u_1 + y_0u_2 - a^2z_0u_3)$
• $E = 2(x_0v_1 + y_0v_2 - a^2z_0v_3)$
• $F = x_0^2 + y_0^2 - a^2z_02$

因为已知交线是双曲线，这个二次方程的判别式 $B^2-4AC>0$，符合双曲线的特征。接下来可以通过平移+旋转把方程化成标准双曲线形式：

1. 平移消去一次项：找到平移量 $(h,k)$，令 $X=X'+h,Y=Y'+k$，代入后让一次项系数为0；
2. 旋转消去交叉项：计算旋转角 $\theta$，满足 $\tan2\theta = B/(A-C)$，旋转后交叉项 $BXY$ 会消失，最终得到类似 $\frac{(X')^2}{m2} - \frac{(Y')^2}{n2}=1$ 的标准形式。

4. 用Mathematica自动化计算 #

如果不想手动算，用Mathematica可以一键完成，代码思路如下：

(* 定义参数 *)
a = ...; p = ...; q = ...; r = ...; s = ...;

(* 计算法向量和模长 *)
n = {p, q, r};
nNorm = Norm[n];

(* 构造平面内的正交单位向量u和v *)
If[p != 0 || q != 0,
  u = {q, -p, 0}/Norm[{q, -p, 0}],
  u = {1, 0, 0}
];
v = Cross[n, u]/Norm[Cross[n, u]];

(* 找平面上的参考点P0 *)
If[r != 0,
  P0 = {0, 0, s/r},
  If[p != 0,
    P0 = {s/p, 0, 0},
    P0 = {0, s/q, 0}
  ]
];

(* 定义坐标变换 *)
x = P0[[1]] + X*u[[1]] + Y*v[[1]];
y = P0[[2]] + X*u[[2]] + Y*v[[2]];
z = P0[[3]] + X*u[[3]] + Y*v[[3]];

(* 代入圆锥方程并展开化简 *)
eq = Expand[x^2 + y^2 - a^2 z^2 == 0];
(* 化成标准形式 *)
StandardForm[CompleteSquare[eq, {X, Y}]]

注意点 #

你提到的“投影到(X,Y)平面”其实是个小误解：(X,Y)本身就是平面内的坐标系，空间中平面上的点和(X,Y)是一一对应的，不需要额外投影，直接通过坐标变换就能得到对应关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.Barker