关于“单调似然比蕴含随机占优”命题证明的疑问

最近我在研究下面这个命题，过程中产生了一个疑问，想请教各位：

设$P_0,P_1$是可测空间$(X,\Sigma)$上的概率测度，关于测度$\mu$有实值密度$f_0,f_1$。假设存在可测函数$T:X\to \mathbb R$和函数$g:\mathbb R \to [0,\infty]$，满足：

1. 在集合$D={x\in X: f_0(x)>0 \text{ 或 } f_1(x)>0}$上，有$\frac{f_1(x)}{f_0(x)}=g(T(x))$（约定$\frac{c}{0}=\infty$）
2. $g$在$T(D)$上是非减函数

那么对任意$k\in \mathbb R$，有
$$\int_{T(x)<k} f_1(x) d\mu\leq \int_{T(x)<k} f_0(x) d\mu $$

以下是我梳理的证明进度：

如果$\mu(D)=0$，那么$f_0=f_1=0$几乎处处成立，所以不妨假设$\mu(D)>0$。令$\alpha=\sup{t\in T(D):g(t)\leq 1}$。注意$\alpha>-\infty$，否则对所有$t\in T(D)$都有$g(t)>1$，这会推出在$D$上$f_1>f_0$，进而$\int f_1 d\mu>\int f_0 d\mu=1$，这与$P_1$是概率测度矛盾。

可以验证以下两个结论：

• 当$T(x)>\alpha$时，$f_1(x)\geq f_0(x)$
• 当$T(x)<\alpha$时，$f_1(x)\leq f_0(x)$

不过到这里我卡住了：要完成证明，是不是必须假设$T(\mu)$关于Lebesgue测度绝对连续？这个假设是必要的吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alphie