有限维向量空间直和维数证明中的不等式推导疑问

嗨，我来帮你把这个证明里的不等式逻辑理清楚，其实核心就是有限维向量空间里两个最基础的结论，咱们一步步拆解：

关于第一个不等式（原书误写为$n>p+q$，实际应为$n\geq p+q$） #

你已经通过直和的定义推导出：把$X^{p$的基${e_1,...,e_p}$和$X}q$的基${e_1',...,e_q'}$放在一起，得到的这一组$p+q$个向量是线性无关的。

而有限维向量空间$X^n$的维数是$n$，根据线性代数的基本规则：向量空间中任意一组线性无关向量的个数，都不会超过空间的维数。简单说就是，线性无关组的大小≤空间维数。这里咱们有$p+q$个线性无关的向量，所以自然得出$p+q \leq n$，也就是原书里的$n>p+q$是印刷错误，正确的应该是$n\geq p+q$。

关于第二个不等式（原书误写为$n<p+q$，实际应为$n\leq p+q$） #

这部分是从“生成组”的角度来的：因为$X^n = X^p \bigoplus X^{q$，所以$X}n$里的任意向量$x$都能拆成$x = y + y'$，其中$y$可以用$X^{p$的基线性表示，$y'$可以用$X}q$的基线性表示。这就意味着，${e_1,...,e_p,e_1',...,e_q'}$这$p+q$个向量可以**线性表出整个$X^{n$**，也就是它是$X}n$的一个生成组。

同样根据线性代数的基本规则：向量空间的维数，不会超过它任意一个生成组的大小。$X^n$的维数是$n$，生成组的大小是$p+q$，所以就有$n \leq p+q$。原书里的$n<p+q$也是印刷时的失误，把≤写成了<。

最终结论 #

现在咱们有了两个严谨的不等式：$p+q \leq n$ 和 $n \leq p+q$，那显然只能是$n = p+q$，这就证明了有限维向量空间直和的维数等于各子空间维数之和。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Detter