沿指定路径计算复积分∫γ₁ e²ᶻ dz的方法咨询

嘿，别发愁啦！你其实漏掉了复变函数里一个特别好用的技巧——对于解析函数的复积分，完全可以用类似实积分的牛顿-莱布尼茨公式来计算，根本不用费劲去直接参数化展开！

首先，咱们先明确：函数(e^{{2z})是整个复平面上的解析函数（也就是整函数），这类函数必然存在原函数。它的原函数很容易求，就是(\frac{1}{2}e}{2z})——你可以对这个原函数求导验证一下，导数刚好是(e^{2z})，没错吧？

那复积分的核心规则来了：只要被积函数在路径所在的区域内解析，那么积分结果就等于原函数在路径终点的取值减去在路径起点的取值，和路径本身的形状无关！

接下来咱们找一下路径(\gamma_1(t) = \cos t + it)的起点和终点：

• 当(t=0)时，起点是(\gamma_1(0) = \cos0 + i\cdot0 = 1)
• 当(t=\pi/2)时，终点是(\gamma_1(\pi/2) = \cos(\pi/2) + i\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{i\pi}{2})

最后代入原函数计算：
[
\int_{\gamma_1} e^{2z} dz = \frac{1}{2}e^{{2z}\bigg|_{z=1}}{z=\frac{i\pi}{2}} = \frac{1}{2}e^{2\cdot\frac{i\pi}{2}} - \frac{1}{2}e^{2\cdot1}
]
化简一下：(e^{i\pi} = -1)，所以结果就是(\frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2}e^2 = -\frac{1 + e^2}{2})。

至于你说的柯西定理或者留数定理，确实用不上——因为这两个定理主要是针对闭合路径的积分，而你这里的路径是从1到(i\pi/2)的非闭合曲线，所以原函数方法才是最直接高效的选择，比直接展开参数积分简单太多啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者a Ludan