关于{1,…,n}的排列中无部分和被3整除的概率求解问询

假设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是数字 $1$ 到 $n$ 的一个完全随机排列。求 $n$ 个部分和 $A_1 = a_1$，$A_2 = a_1 + a_2, \dots$，$A_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 中没有一个能被3整除的概率。

我的尝试过程 #

首先，因为 $1+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，如果要让最后一个部分和（也就是总和）不被3整除，那么必须满足 $n \equiv 1 \pmod{3}$。我令 $n = 3k + 1$，并设 $N(i)$ 表示集合 ${1,\dots,n}$ 中模3余$i$的数字个数，那么可以得到：
$$N(1) = N(2) + 1 = N(0) + 1 = k+1$$

我想到一种避免部分和被3整除的排列模式：

• 排列的大致结构是类似 $1,1,2,1,2,\cdots$ 的形式（模3为0的数字需要单独考虑插入方式）

现在我卡在了这里，希望有人能帮我继续推进并完成这个解法。谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eager