带区间外均匀重采样的正态分布随机变量的期望闭式解求解

你推导的步骤完全没问题！先帮你简化一下基础项：因为X的均值是0，所以$\mathbb{E}(X)=0$，而均匀分布Y的期望是$\frac{a+b}{2}$，所以你的表达式可以先简化为：

$$
\mathbb{E}(Z) = \frac{a+b}{2} - \frac{1}{b-a} \int_a^b x\Phi_\sigma(x) dx
$$

这里要注意，所有积分的有效范围都是$[a,b]$，因为Z的取值只在这个区间内，之前的积分可以限定在这个区间上计算。接下来我们用分部积分法来求解这个棘手的积分$\int x\Phi_\sigma(x) dx$，其中$\Phi_\sigma(x) = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$（标准正态分布的CDF），$\phi_\sigma(x) = \frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$（标准正态分布的PDF）。

分部积分求解积分项 #

设$u = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$，$dv = x dx$，那么：

• $du = \frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) dx$
• $v = \frac{x^2}{2}$

根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，代入得到：
$$
\int x\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) dx = \frac{x^2}{2}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) \bigg|_a^b - \frac{1}{2\sigma} \int_a^b x^2 \phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) dx
$$

接下来处理剩下的积分$\int x^2 \phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) dx$，做变量替换$t = \frac{x}{\sigma}$（即$x = \sigma t$，$dx = \sigma dt$），代入后变为：
$$
\int (\sigma t)^2 \phi(t) \cdot \sigma dt = \sigma^3 \int t^2 \phi(t) dt
$$

对于标准正态的积分$\int t^2 \phi(t) dt$，我们可以再次用分部积分：设$u=t$，$dv=t\phi(t)dt$，注意到$d(-\phi(t))=t\phi(t)dt$，所以：
$$
\int t^2 \phi(t) dt = -t\phi(t) + \int \phi(t) dt = -t\phi(t) + \Phi(t) + C
$$

把$t = \frac{x}{\sigma}$代回，得到：
$$
\int x^2 \phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) dx = \sigma^3 \left( -\frac{x}{\sigma}\phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) + \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) \right) \bigg|_a^b
$$

合并所有项得到闭式解 #

把上面的结果代回最初的分部积分式，整理后：
$$
\int_a^b x\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) dx = \frac{1}{2}\left[
b^2\Phi\left(\frac{b}{\sigma}\right) - a^2\Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) - \sigma^2\left(\Phi\left(\frac{b}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\right) + \sigma\left(b\phi\left(\frac{b}{\sigma}\right)-a\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\right)
\right]
$$

最后把这个积分结果代入$\mathbb{E}(Z)$的表达式，化简后得到最终的闭式解：
$$
\mathbb{E}(Z) = \frac{a+b}{2} - \frac{1}{2(b-a)} \left[
(b^2 - \sigma^2)\Phi\left(\frac{b}{\sigma}\right) - (a^2 - \sigma^2)\Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) + \sigma\left(b\phi\left(\frac{b}{\sigma}\right)-a\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\right)
\right]
$$

如果需要展开标准正态PDF的形式，$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z2/2}$，代入后可以得到完全用$\sigma,a,b$表示的显式公式，方便你直接编程计算（大部分数值计算库都内置了$\Phi(z)$和$\phi(z)$的高效实现，比如Python的scipy.stats.norm）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BadIdeaException