关于Pólya urn收敛性证明中条件期望等式(2)的推导疑问

嘿，我看你在推导Pólya urn证明里的等式(2)时卡壳了，问题出在你把等式(1)直接套到函数$f$上啦——等式(1)是向量值随机变量的条件期望等式，不是对任意函数$f$都能直接交换期望和$f$的顺序哦（只有当$f$是线性函数时才能这么做，这也是你提到线性函数时能对上的原因）。咱们一步步来推导等式(2)：

首先得明确$P_{n+1}$的更新规则：给定$\mathcal{F}n$（到$n$时刻的所有信息），我们先随机选一个颜色$k$，选到$k$的概率是$\mathbb{P}(X{n+1}=k|P_n)=\frac{(P_n)_k}{|P_n|_1}=\frac{(P_n)k}{\alpha + nS}$（因为初始总球数是$\alpha$，每次操作加$S$个球，$n$次操作后总球数就是$\alpha + nS$）。选到颜色$k$后，我们会往urn里加入$S$个$k$色球，所以$P{n+1}=P_n + S e_k$。

现在根据条件期望的定义计算$\mathbb{E}[f(P_{n+1})|\mathcal{F}_n]$，需要对所有可能的颜色$k$求和：

$\mathbb{E}[f(P_{n+1})|\mathcal{F}n] = \sum{k=1}^d \mathbb{P}(X_{n+1}=k|\mathcal{F}_n) \cdot f(P_n + S e_k)$

把选色概率代入进去：
$\mathbb{E}[f(P_{n+1})|\mathcal{F}n] = \sum{k=1}^d \frac{(P_n)_k}{\alpha + nS} \cdot f(P_n + S e_k)$

接下来把这个式子拆成两项，凑出目标形式：
$$
\begin{align*}
&= \sum_{k=1}^d \frac{(P_n)k}{\alpha + nS} \cdot f(P_n) + \sum{k=1}^d \frac{(P_n)_k}{\alpha + nS} \cdot [f(P_n + S e_k) - f(P_n)] \
\end{align*}
$$

• 第一项里，$\sum_{k=1}^d (P_n)_k = \alpha + nS$，所以第一项化简后就是$f(P_n)$；
• 第二项正好是$\frac{1}{\alpha + nS} \cdot \Phi(f)(P_n)$，完全符合题目里$\Phi(f)(v) = \sum_{k=1}^d v_k[f(v+Se_k)−f(v)]$的定义（这里$v=P_n$）。

把两项合并起来就得到：
$\mathbb{E}[f(P_{n+1})|\mathcal{F}_n] = f(P_n) + \frac{1}{\alpha + nS}\Phi(f)(P_n) = \big(I+\frac{\Phi}{\alpha+ nS}\big)(f)(P_n)$

这就是等式(2)的推导过程啦。再补充一句：你之前写出的等式(3)是错误的，因为$\mathbb{E}[f(P_{n+1})|\mathcal{F}n] \neq f(\mathbb{E}[P{n+1}|\mathcal{F}_n])$，这个交换只有当$f$是线性函数时才成立（对应Jensen不等式的等号情况），而题目里$f$是任意函数，所以不能直接这么操作。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dada