关于正交多项式行列式显式表示（公式1.2）的证明方法问询

云原生阿岚

2026-4-20

最近我在读Gabor Szego写的一本关于正交多项式的书，里面有这么一个结论：

设实值函数 $f_0(x),f_1(x),\dots,f_l(x)$（$l$ 有限或无限）属于 $L_\alpha^2[a,b]$ 且线性无关。通过正交化，存在一个正交集合 $\phi_0(x),\phi_1(x),\dots,\phi_l(x)$，使得对于 $n = 0, 1, \dots,l$，
$$
\phi_n(x) = \lambda_{n0} f_0(x) + \cdots + \lambda_{nn} f_n(x),
\quad
\lambda_{nn} > 0
\tag{1.1}
$$
由(1.1)可得如下显式表示：
$$
\phi_n(x) = (D_{n-1}D_n)^{-\frac{1}{2}} D_n(x)
\tag{1.2}
$$
其中，当 $n \geq 1$ 时，
$$
D_n(x) = \begin{vmatrix}
(f_0,f_0) & (f_0,f_1) & \cdots & (f_0,f_n) \
(f_1,f_0) & (f_1,f_1) & \cdots & (f_1,f_n) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
(f_{n-1},f_0) & (f_{n-1},f_1) & \cdots & (f_{n-1},f_n) \
f_0(x) & f_1(x) & \cdots & f_n(x)
\end{vmatrix}
$$
对于 $n\geq 0$，
$$
D_n = [(f_v,f_\mu)]{v,\mu=0,1,2,\dots,n}>0
$$
是行列式。规定 $D{-1} = 1$ 且 $D_0(x) = f_0(x)$。