关于分式线性变换名称中“线性”一词的疑问

嘿，这个问题问得特别到位！我当初刚接触分式线性变换的时候也纠结过这点——明明分子分母里都有平移项，而平移根本不是严格意义上的线性变换（毕竟线性变换得把原点映射到原点），为啥名字里偏偏带“线性”呢？

其实可以从两个角度来理解这个名称的由来：

• 从射影复平面的线性变换诱导而来：
  分式线性变换本质上是射影空间里的线性变换“降维”到普通复平面上的结果。我们可以把普通复平面上的点$z$对应成齐次坐标$[z:1]$（这是一个二维的向量形式），然后分式线性变换的公式$z\to\frac{az+b}{cz+d}$，其实对应着一个2×2的可逆矩阵$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$对这个齐次向量做线性变换：
  $$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}az+b\cz+d\end{pmatrix}$$
  之后再把变换后的齐次坐标转回普通复平面的坐标，就是用第一个分量除以第二个分量，得到$\frac{az+b}{cz+d}$。这里矩阵对向量的操作是实打实的线性变换，所以名称里的“线性”其实是源于这个齐次空间里的线性操作，而不是直接看它在普通复平面上的映射效果。

• 从分子分母的多项式类型来命名：
  另一个原因是习惯上的术语简化——分式线性变换的分子$az+b$和分母$cz+d$都是关于$z$的一次多项式，而很多场景下大家会把一次多项式直接称为“线性多项式”（严格来说带常数项的应该叫仿射线性多项式，但日常使用里常简化成“线性”）。所以“线性分式变换”也可以理解为“由线性多项式组成的分式所定义的变换”。

至于你提到的反演，它确实是分式线性变换的一种特殊情况（比如$z\to\frac{1}{z}$就属于反演类的变换），但它和这个名称里的“线性”没有直接关联，核心原因还是刚才说的射影空间线性变换和多项式类型这两点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Danilo