关于证明ℝ²中满足中心序列收敛条件的无穷紧集并集为紧集的技术问询

问题描述 #

考虑配备标准度量的$\mathbb{R}^2$空间，已知对于每个整数$n\geq1$，都存在一个紧集$K_n \subseteq \mathbb{R}^2$和点$x_n \in\mathbb{R}^2$，满足两个条件：

• $K_n$完全包含在以$x_n$为中心、半径为$2^{-n}$的开球里，也就是 $K_n \subseteq B(x_n, 2^{-n})$
• 点序列$(x_n)_{n=1}^{\infty$收敛到某个点$x$，而且这个$x$属于$K=\bigcup_{n=1}}\infty K_n$

现在需要证明：$K=\bigcup_{n=1}^\infty K_n$是紧集。

我的疑问与初步思路 #

我清楚无穷多个紧集的并集不一定是紧集，所以特别想搞懂这里的“中心序列收敛”这个条件到底是怎么补上这个“漏洞”的。

我打算用$\mathbb{R}^n$里的Heine-Borel定理来证，也就是得证明$K$同时满足闭集和有界这两个性质：

• 有界性这块，我初步想的是能不能说$K \subset B(x_1, |x_1 - x| + 1/2)$，但还没完全理清楚合理性；
• 闭性这块我就完全摸不着头绪了，希望能得到指点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex A.G.