已知积分等式求f'(1)的严谨数学解法问询

考虑函数 $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ 满足：
$$\int_{\ 0}^1 f(x)(x-f(x)),dx=\frac{1}{12}.$$
求 $f'(1)$ 的值。

我自己对着这个问题卡了半小时，后来试着假设函数是 $\frac{x}n$（$n\in\mathbb{R}$）的形式，解出来 $n=2$，这样算得 $f'(1)$ 是0.5，刚好和答案对上。但这完全是碰运气蒙出来的解法，肯定有更严谨的数学推导方法吧？

有没有大佬能给我讲讲正规的解题思路？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blue Cat Blues