关于极限序数λ对应的贝斯数ℶ_λ的共尾性及贝斯序列单调性的疑问

看起来你已经在贝斯数和共尾性的问题上有了不错的进展，我来帮你补全剩下的证明部分，顺便确认一下贝斯序列的单调性~

一、贝斯序列确实是严格递增的 #

你的直觉完全正确，映射$\alpha \mapsto \beth_\alpha$是严格递增的，用数学归纳法就能轻松证明：

1. 基例验证：$\beth_0 = \aleph_0$，$\beth_1 = 2^{\beth_0} = 2^{{\aleph_0}$，根据康托尔定理，$2}{\aleph_0} > \aleph_0$，所以$\beth_0 < \beth_1$。
2. 归纳假设：假设对于所有序数$\beta < \alpha$，都满足$\beth_\beta < \beth_{\beta+1}$，并且当$\beta < \gamma < \alpha$时，$\beth_\beta < \beth_\gamma$。
3. 归纳步骤分情况讨论：
   • 如果$\alpha$是后继序数（即$\alpha = \gamma + 1$）：根据定义$\beth_\alpha = 2^{{\beth_\gamma}$，康托尔定理直接给出$2}{\beth_\gamma} > \beth_\gamma$，结合归纳假设，所有$\beta < \gamma$的$\beth_\beta < \beth_\gamma < \beth_\alpha$，因此$\beth_\alpha$大于所有之前的贝斯数。
   • 如果$\alpha$是极限序数：$\beth_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} \beth_\beta$。对于任意$\beta < \alpha$，$\beta+1 < \alpha$（因为$\alpha$是极限序数），所以$\beth_{\beta+1} \subseteq \beth_\alpha$，而根据归纳假设$\beth_\beta < \beth_{\beta+1}$，因此$\beth_\beta < \beth_{\alpha}$。

这样就完整证明了贝斯序列的严格递增性。

二、补全$\text{cof}(\beth_\lambda) \geq |\lambda|$的证明（$\lambda$为极限序数） #

你已经证明了$\text{cof}(\beth_\lambda) \leq |\lambda|$，现在用反证法来推导反向不等式：

假设$\text{cof}(\beth_\lambda) = \kappa < |\lambda|$。根据共尾性的第二个定义（AC成立的前提下），存在一族基数${\kappa_i}{i \in \kappa}$，满足每个$\kappa_i < \beth\lambda$，且$\beth_\lambda = \sum_{i \in \kappa} \kappa_i$。

由于贝斯序列严格递增，$\beth_\lambda$是${\beth_\alpha \mid \alpha < \lambda}$的并集，因此对每个$\kappa_i$，存在某个$\alpha_i < \lambda$使得$\kappa_i < \beth_{\alpha_i}$。现在取这些$\alpha_i$的上确界：$\beta = \sup{\alpha_i \mid i \in \kappa}$。

因为$\kappa < |\lambda|$，而$\lambda$是极限序数，这个上确界$\beta$一定小于$\lambda$（如果$\beta = \lambda$，那么${\alpha_i \mid i \in \kappa}$就是$\lambda$的一个共尾子集，其基数$\kappa < |\lambda|$，这与基数的共尾性性质矛盾）。同时由贝斯序列的严格递增性，$\beth_\beta < \beth_\lambda$。

接下来计算和的上界：
$$\sum_{i \in \kappa} \kappa_i \leq \sum_{i \in \kappa} \beth_{\alpha_i} \leq \sum_{i \in \kappa} \beth_\beta$$
因为$\beth_{\alpha_i} \leq \beth_\beta$（$\alpha_i \leq \beta$，贝斯序列非递减）。对于无穷基数$\beth_\beta$，$\sum_{i \in \kappa} \beth_\beta = \kappa \cdot \beth_\beta$，而无穷基数的平方等于自身，所以$\kappa \cdot \beth_\beta = \max(\kappa, \beth_\beta) \leq \beth_\beta \cdot \beth_\beta = \beth_\beta$。

但$\beth_\beta < \beth_\lambda$，这就推出$\sum_{i \in \kappa} \kappa_i \leq \beth_\beta < \beth_\lambda$，与我们假设的$\sum_{i \in \kappa} \kappa_i = \beth_\lambda$矛盾。因此原假设不成立，即$\text{cof}(\beth_\lambda) \geq |\lambda|$。

结合你已经证明的$\text{cof}(\beth_\lambda) \leq |\lambda|$，最终得到$\text{cof}(\beth_\lambda) = |\lambda|$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lelouch_l8r4