连通覆叠自同构由一点像唯一确定的相关技术问询

我最近在学习覆叠空间理论的时候碰到了一个拿不准的问题，想过来请教各位大佬：

先铺垫一下已知的结论：假设$p:E \to B$是覆叠映射，$h:E \to E$是满足$p = p \circ h$的同胚（也就是覆叠空间的自同构），当$E$是道路连通的时候，我们已经知道$h$完全由它在某一个点的像唯一确定。

不过我在Dieck的《Algebraic Topology》第65页里看到，作者声称哪怕$E$只是连通（不需要满足道路连通），这个“自同构由一点的像唯一确定”的性质仍然成立，但书里并没有给出证明过程。

我现在卡在这儿了：这个结论真的成立吗？我尝试过直接构造证明或者用反证法推导，都没找到清晰的思路；如果要推翻这个结论，就得构造出一个具体的覆叠例子——要求覆叠空间是连通但非道路连通的底空间，但这个例子找起来实在太难了，目前还没取得什么实质性的进展。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fernando Chu