ω上可测滤子等价条件下集合族Bₙ有限性的推导问询

各位好，想请教一个集合论里关于滤子可测性的问题：

首先有个已知结论（比如可以参考Bartoszynski和Judah的《Set Theory, On the Structure of the real Line》）：对于ω上的滤子$F$，以下几个条件是等价的：

• $F$是勒贝格可测的；
• 存在集合族${A_n: n\in \omega }$满足如下四条性质：
  • 对任意$n \in \omega$，$A_n$都是由有限个ω的有限子集构成的集合；
  • 当$n \neq m$时，$\bigcup A_n \cap \bigcup A_m = \emptyset$；
  • 级数$\sum_{n=1}^{\infty}\ \mu\left(\left{X \subseteq \omega: \exists a \in A_n,\ a \subseteq X\right}\right) < \infty$，这里的$\mu$指的是勒贝格测度；
  • 对任意$X \in F$，都存在无穷多个$n$，使得存在$a \in A_n$满足$a \subseteq X$。

现在我们定义集合$B_n = \left{a \in [\omega]^n: \exists k,\ a\in A_k\right}$，我想知道：我们要怎么推导得出所有的$B_n$都是有限集呢？

提前感谢各位的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Caro Meier