验证E[XY]最小与最大可能值求解过程的正确性

嗨，你的解法完全正确！咱们一步步拆解确认一下：

已知条件为：$P(X=1)=P(X=2)=P(Y=1)=P(Y=2)=\frac{1}{2}$，易算出X和Y各自的期望都是$E[X]=E[Y]=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$。

• 当X和Y独立时，根据期望的乘积性质，$E[XY]=E[X]E[Y]=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25$，这是一个中间参考值。
• 正相关极端场景：让X和Y完全同步取值——X=1时Y必为1，X=2时Y必为2。此时计算期望：
  $E[XY]=\frac{1}{2}\times1\times1 + \frac{1}{2}\times2\times2=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}=2.5$，这是E[XY]能达到的最大值。
• 负相关极端场景：让X和Y完全反向取值——X=1时Y必为2，X=2时Y必为1。此时计算期望：
  $E[XY]=\frac{1}{2}\times1\times2 + \frac{1}{2}\times2\times1=\frac{2+2}{2}=2$，这是E[XY]能达到的最小值。

综上，你得出的$2 \leq E[XY] \leq \frac{5}{2}$这个结论完全严谨，推导逻辑也覆盖了所有关键情况，是正确的解法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aleksander Wojsz