求证满足特定参数条件的函数在[0,+∞)上恒为负的问题求助

各位大佬好，我现在卡在一个函数恒负的证明问题上，希望能得到大家的帮助！

我需要证明以下函数在所有 $x \in [0,\infty)$ 时恒为负：

$$f(x)=\frac{(2x+ab-1)\ln\left(\frac{ac-(1-x)}{ab-(1-x)}\right)}{a}+\frac{(b-1)(ac-1)}{ac-(1-x)}+\frac{(2b-c-1)x}{ac-(1-x)}$$

参数约束条件 #

• $a>1$
• $\frac{1}{a}<b<1$
• $b<c<1$

已完成的推导工作 #

目前我已经证出了两个关键结论：

• 借助不等式 $\ln(1+x)<x$，推导出 $f(0)<c-1<0$；
• 计算得到极限 $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=c-1<0$。

遇到的困境 #

不过在尝试推广到一般情况时，我再次使用 $\ln(1+x)<x$ 这个不等式进行放缩，最终得到：

$$\begin{align}f(x)&<(c-b)+\frac{(c-b)x}{ab-(1-x)}+(b-1)\left(1-\frac{x}{ac-(1-x)}\right)+\frac{(2b-c-1)x}{ac-(1-x)}\&=(c-1)+\frac{a(c-b)^{2}}{(ab-(1-x))(ac-(1-x))}\end{align}$$

到这里就卡住了——这个上界表达式里的第二项是正数，没法直接得出 $f(x)<0$ 的结论。

我猜想或许有其他更合适的放缩方法或者分析思路，但暂时没找到方向。另外通过两次数值模拟，我发现$f(x)$可能是一个递增函数：如果能证明这个单调性，结合$f(0)<0$和无穷远极限也小于0，就能直接得出函数在整个区间恒负的结论，但我也没能证出这个单调性。

退一步讲，如果能先证明$f(x)$在区间$[0,1]$上恒负，对我来说也足够解决当前的问题了！真心感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brenda