黎曼流形中弧长内蕴定义的合理性与光滑映射微分定义方式的疑问（非嵌入情形）

咱先唠第一个问题：为啥在非嵌入的黎曼流形上，我们能放心用那个积分来定义曲线的弧长？

核心就是黎曼度量的内蕴性啊！非嵌入的流形虽然没“套”在欧氏空间里让我们能直观看到，但它自身每一点的切空间上都自带了一个内积结构——也就是黎曼度量$\langle \cdot, \cdot \rangle$。这个内积是流形自己的“属性”，完全不需要依赖外在的欧氏空间来定义。

对于光滑曲线$\gamma: I \to \mathcal M$，$\gamma'(t)$是$\gamma(t)$点的一个切向量，黎曼度量能直接给这个切向量赋予“长度”：$\sqrt{\langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle}_{\gamma(t)}$。因为这个长度是纯内蕴的，和流形有没有被嵌入到更高维欧氏空间半毛钱关系都没有。再加上曲线是光滑的，黎曼度量也是光滑的，所以这个被积函数是连续的，积分肯定存在。而且这个定义还完全符合我们对弧长的直觉：重参数化不会改变弧长，分段光滑的曲线弧长是各段的和，所以这个定义绝对是合法合理的。

再来说你第二个疑问：为啥我们不用$\text{d}F_p : \gamma'(0) \mapsto (F \circ \gamma)'(0)$来定义光滑映射$F$的微分？哎，这就有意思了——其实标准的微分定义就是这个啊！是不是你对非嵌入情形下的切向量定义有误解？

在非嵌入流形里，切向量本来就可以用光滑曲线的等价类来定义：$p$点的一个切向量$v$，就是所有满足$\gamma(0)=p$，且在任意局部坐标下导数都相同的光滑曲线$\gamma$的集合（等价类）。这时候$\gamma'(0)$其实就是这个等价类的“代号”而已。那把$\text{d}F_p(v)$定义为$(F \circ \gamma)'(0)$，也就是$F \circ \gamma$这条曲线在$F(p)$点的切向量等价类，这个定义在非嵌入情形完全没问题——它不依赖任何外在空间，纯靠流形自身的光滑曲线就能定义，是完完全全的内蕴定义。

哦，说不定你是把非嵌入情形下的切向量和欧氏空间里的导数搞混了？咱这里的$\gamma'(0)$不是欧氏空间里的那种“箭头向量”，而是流形上切向量的等价类代表，所以这个定义根本没毛病，反而还特别直观：把$p$点的“曲线方向”，通过$F$映射成$F(p)$点的“曲线方向”，完美贴合微分“线性近似”的本质，不管流形有没有嵌入，这个定义都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者markusas