格点组合数学问题：10×10网格中不存在两两可见五人组的证明问询

问题描述 #

100个人站成一个10×10的正方形网格。如果两个人之间的连线不经过其他任何人，那么他们就能互相看见。例如，站在(0, 0)的人可以看见站在(2, 1)的人，但看不见站在(2, 0)的人，因为(1, 0)的人挡住了视线。需要证明：不存在这样的五个人，他们两两之间都能互相看见。

我的思路与困惑 #

• 我已经想明白，至少存在四个人两两可见——比如选一个2×2矩形里的四个点就行。但我卡在了如何证明不存在第五个人能和这四个人都两两可见这一步。
• 我意识到两个人能互相看见的核心条件是：他们坐标差的最大公约数为1（也就是坐标差是互质的）。比如，站在(0, 2)的人和站在(1, 4)的人能互相看见，因为他们的坐标差(1, 2)是互质的；而站在(0, 2)和(2, 4)的人就看不见彼此，因为坐标差(2, 2)不互质，中间会被(1, 1)的人挡住。
• 我觉得这个方向是对的，但不知道怎么用这个结论继续推进，完成“不存在两两可见五人组”的证明。希望能得到大家的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者n3_xas_b