关于随机积分仅定义于可预测被积函数的疑问及理论框架分析

我现在对一个问题有点困惑——我理解当被积函数不可预测时，随机积分不具备局部鞅性质，但我搞不懂背后的原因。我学到的随机积分定义是这样的：

首先，我们定义右连左极(RCLL)鞅$M$的二次变差为：
$$ Q(M,t) \equiv \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^\infty(M_{\sigma_{i+1} \wedge t}-M_{\sigma_{i} \wedge t})^2$$
其中$\sigma_0 \equiv 0$，且
$$ \sigma_{i+1} \equiv \inf \left(t > \sigma_i : |M_t - M_{\sigma_i}| \ge 2^{-n} \text{ or } |M_{t-} - M_{\sigma_i}| \ge 2^{-n} \right) $$

这个极限被证明在紧集上几乎必然一致收敛，这些结论在一篇非常棒的教学论文里从基础原理出发做了推导，同时还证明了这个极限是非递减、右连左极的，等等。

现在，对于任意有界RCLL鞅$M$，以及满足
$$\mathbb{E} \left(\int_0^\infty H_s^2 Q(M,ds) \right) < \infty $$
的任意（可预测，但这个推导里哪里用到了可预测性？）过程$H$，我们定义一个从有界RCLL鞅构成的希尔伯特空间到$\mathbb{R}$的映射：
$$J(N) \equiv \mathbb{E} \left(\int_0^\infty H_s Q(M,N,ds) \right),$$
这里$Q(M,N,t)$是二次协变差，定义为
$$Q(M,N,t) \equiv \frac{1}{2} \Big(Q(M+N,t) - Q(M,t) - Q(N,t) \Big).$$

因为$J$是线性映射，根据里斯表示定理，存在唯一的有界RCLL鞅$L$，使得
$$\textbf{(1)} \qquad \qquad J(N) = \mathbb{E}(L_{\infty} N_{\infty})$$
我们就把这个$L$定义为$H$关于$M$的随机积分。

我知道像Protter的教材里，通常是先定义随机积分，再推导它的二次变差，这也是我困惑的原因。按照上面的构造，$L$本身就是RCLL鞅，这似乎和“$H$不可预测会破坏(局部)鞅性质”的结论矛盾了。所以我的问题如下：

• 这个推导过程里到底哪里用到了$H$的可预测性（或者说实话，因为我的知识实在太匮乏了，适应性也可以）？
• 我到底漏掉了什么？哪里会出问题？

任何帮助我理解的内容我都万分感激，哪怕只是看完我这段“小随笔”也谢谢了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qp212223