关于组合数学学生分组问题中反证法否定命题的理解疑问

最近碰到这么一个组合数学题，还有配套的解答，但我卡在反证法里的命题否定环节了，实在搞不懂怎么来的，先把问题和解答的关键部分给大家说说：

原问题 #

有12名学生在Fat先生的组合数学课上。每周开始时，Fat先生会布置一个项目，学生们分成6组（每组必须两人，不能单独完成），每周的分组可以自由选择。证明：无论学生们怎么选搭档，总有两名学生，使得至少存在另外5名学生，要么都和这两人合作过，要么都没和这两人合作过。

原解答的核心定义与反证思路 #

解答里先做了两个集合定义：

• 设$A = {s_1, s_2, ..., s_{12}}$是全体学生的集合，$B = {(s_i, s_j) | 1 \leq i < j \leq 12}$是所有学生对的集合，算下来$|B|=66$。
• 定义了一个「连接」关系：如果学生$s_i$和学生对$(s_j,s_k)$三者互不相同，而且$s_i$只和$s_j$、$s_k$中的一个人合作过，就称$s_i$和$(s_j,s_k)$是连接的。
• 记$S$是所有这种连接关系的集合，也就是$S = {[s_i,(s_j, s_k)] | s_i$和$(s_j,s_k)$是连接的$}$。

然后解答用了反证法，它说：我们假设原命题不成立，也就是某个时刻，每一对学生$(s_j,s_k)$都至少和6名学生连接（即$|S(*,(s_j,s_k))| \geq 6$）。之后通过计算$|S|$的上下界（下界是$6×66=396$，上界是$30×12=360$），得出矛盾，从而证明原命题成立。

我的疑问 #

我现在完全搞不懂的是：原命题的否定怎么就变成了“每一对学生都至少和6名学生连接”呢？原命题说的是存在两个学生，满足后面的条件，它的否定难道不是“对任意两个学生，都不满足后面的条件”吗？这和解答里说的那个否定怎么对应上的啊？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SuperMaxAli