可分度量空间到T₃空间的Borel映射的扩张存在性问题

嗨，我来梳理下这个问题和对应的思考背景：

核心问题 #

假设$f:X\to Y$是从可分度量空间$X$到$T_3$空间$Y$的Borel映射。

是否总存在波兰空间$\tilde X \supseteq X$、$T_3$空间$\tilde Y\supseteq Y$，以及$f$的Borel扩张$\tilde f:\tilde X\to \tilde Y$，即$\tilde f$是Borel映射且对所有$x\in X$有$\tilde f(x)=f(x)$？

研究背景与动机 #

提问者的研究方向是可分度量空间的Borel像这类空间，但目前相关的成熟理论大多聚焦于波兰空间，而非一般的可分度量空间。因此他希望能证明：可分度量空间的Borel像一定是某个波兰空间的Borel像的子空间——这部分结论是他已经知道如何处理的。

最开始他尝试构造一个Borel映射$g:\tilde X\to X$来推进，但发现这种构造仅当$X$是解析集时才成立。于是他换了一种思路：同时扩张定义域和值域，这也就引出了上面的核心问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jakobian