关于用极坐标判别二元函数在原点处极限存在性的疑问

你的逻辑完全站得住脚！这确实是证明二元函数在原点处极限不存在的有效方法。

二元函数极限存在的核心定义是：无论以何种路径趋近原点$(0,0)$，函数值都必须趋近于同一个确定的常数。当你把$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$代入后，得到的$\lim_{r \to 0} f(r\cos\theta, r\sin\theta)$是一个依赖于$\theta$的函数（比如你举的$1-2\sin(\theta)$），这就意味着：

• 当取不同的$\theta$值（也就是沿着不同的直线角度趋近原点），函数会趋近不同的数值。比如$\theta=0$时（沿x轴正方向趋近），极限是$1-2\sin0=1$；$\theta=\pi/2$时（沿y轴正方向趋近），极限是$1-2\sin(\pi/2)=-1$。

这直接违反了极限存在的必要条件——不同路径下的极限必须一致，所以你完全可以据此得出结论：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$不存在。

这里顺便提个小补充：反过来，如果极坐标下的极限结果不依赖于$\theta$，也不能直接断定原极限一定存在，因为还可能存在非直线的特殊路径（比如抛物线$y=x^2$）导致极限不一致，但你的情况已经明确出现了角度依赖的结果，所以不用考虑这个例外，直接下结论就好。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pseudobulbose