关于极限函数$f(x)=\lim_{m\to\infty}m(x-b)$是否等价于直线$x=b$的疑问

嗨，我来帮你把这个问题理清楚～

首先咱们得明确两个东西的本质区别：

• 先看你说的极限函数$f(x)=\lim_{m\to\infty}m(x-b)$：
  当$x \neq b$时，$x-b$是一个非零常数，当$m$趋向无穷大时，$m(x-b)$会趋向正无穷或者负无穷（取决于$x-b$是正还是负），这个极限是不存在的（或者说趋向无穷）；只有当$x = b$时，这个式子的结果是0。所以这个“函数”其实只在$x=b$这一个点上有定义，是单个点$(b, 0)$，而不是一条直线。
• 再看直线$x=b$：它是所有满足$x=b$的点的集合，不管$y$取什么值（可以是任何实数），这些点都在这条竖线上，这是无数个点组成的一条直线，而且它不是函数（因为一个$x$对应无数个$y$，不符合函数“一个输入对应唯一输出”的定义）。

然后说说斜率的问题：垂直直线$x=b$的斜率被称为“undefined（无定义）”，是因为斜率的定义是$\frac{\Delta y}{\Delta x}$，对于垂直直线来说，$\Delta x = 0$，分母为0在实数范围内没有意义，所以不能说斜率是无穷大。你提到的那些斜率越来越大的直线$y=m(x-b)$，它们只是在几何上越来越靠近$x=b$，但永远不会变成$x=b$——每条这样的直线都是合法的函数图像，而$x=b$根本不是函数图像，两者的性质完全不同。

总结一下：那个极限函数和直线$x=b$并不等价，前者只是单个点，后者是一条竖线；垂直直线的斜率是无定义的，不是无穷大，这是因为斜率的定义本身限制了分母不能为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yavor