关于向量函数$g(\vec{x}) = f(A\vec{x} + \vec{b})\vec{x}$的雅可比矩阵推导中求和式转换的疑问
别担心，我第一次看到这个求和转换的时候也一头雾水，咱们一步步拆解开就明白啦～
首先要抓住核心：这里用到的是多元函数的链式法则。因为$f$是从$\mathbb{R}^n$映射到$\mathbb{R}$的标量函数，它的输入是$A\vec{x}+\vec{b}$这个n维向量，而不是单个标量。所以当你要对$x_k$求偏导时，不能直接计算，得通过中间变量——也就是$A\vec{x}+\vec{b}$的每一个分量来传递导数的“贡献”。
咱们把这个过程拆解得更具体：
- 先定义中间变量$\vec{z} = A\vec{x} + \vec{b}$，那么$f$其实是$f(\vec{z})$，其中$\vec{z}$的第$\ell$个分量是$\vec{z}\ell = \sum{i=1}^n A_{\ell i}x_i + b_\ell$（这就是矩阵-向量乘法的分量展开形式）。
- 根据多元链式法则，标量函数$f(\vec{z})$对$x_k$的偏导，等于$f$对$\vec{z}$的每个分量$\vec{z}\ell$的偏导，乘以$\vec{z}\ell$对$x_k$的偏导，再把所有$\ell$对应的结果加起来。用公式写就是：
$$\frac{\partial f(\vec{z})}{\partial x_k} = \sum_{\ell=1}^n \frac{\partial f(\vec{z})}{\partial \vec{z}\ell} \cdot \frac{\partial \vec{z}\ell}{\partial x_k}$$ - 把$\vec{z}$替换回题目里的$A\vec{x}+\vec{b}$，就得到了你看到的求和式：
$$\sum_{\ell=1}^{n} \frac{\partial f(\mathbf{A}\vec{\mathbf{x}} + \mathbf{b})}{\partial (\mathbf{A}\vec{\mathbf{x}} + \mathbf{b}){\ell}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{A}\vec{\mathbf{x}} + \mathbf{b}){\ell}}{\partial x_k}$$
再结合你提到的雅可比矩阵元素$[D(\vec{g}(\vec{x}))]_{jk}$的式子来看：
原来的第二项是$\vec{x}_j \frac{\partial f(\mathbf{A}\vec{\mathbf{x}} + \mathbf{b})}{\partial x_k}$，这里的$\frac{\partial f(\cdot)}{\partial x_k}$就是上面说的多元链式法则的应用，所以必须展开成求和式才能进一步计算具体的导数。
举个n=2的小例子帮你验证：
假设$\vec{z} = A\vec{x}+\vec{b} = \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + b_2 \end{pmatrix}$，那么$f(\vec{z})$对$x_1$的偏导就是：
$$\frac{\partial f}{\partial z_1} \cdot a_{11} + \frac{\partial f}{\partial z_2} \cdot a_{21}$$
这正好对应求和式中$k=1$、$\ell$从1到2的情况，是不是一下子就直观了？
本质上，这个求和式就是多元函数链式法则的标准写法——因为$f$的输入是n维向量，每个分量都和$x_k$有关，所以求偏导时必须把每个分量的影响都加进来。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者BMTEJ
